Задание 21 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Задача о совместной работе

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть Маша ест печенье со скоростью $v$ печений в единицу времени, а время, в течение которого она ела варенье, равно $t$. Обозначим через $u$ время, в течение которого она ела печенье.
2. 2
   Медведь ест в три раза быстрее Маши. Маша съела варенья $vt$, а Медведь — $3vu$. По условию варенья съедено поровну.$$vt=3vu$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже в любом подъезде одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше…

1. 1
   Обозначим число этажей через $x$, число квартир на этаже через $y$, а число подъездов через $z$. Тогда $x > y > z > 1$ и $xyz = 186$.$$xyz = 186$$
2. 2
   Разложим число 186 на простые множители:$$186 = 2 \cdot 3 \cdot 31$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 7 и 8. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны $2(a+c)=3$, $2(b+c)=7$, $2(b+d)=8$ и $2(a+d)=x$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 30. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Произведения площадей противоположных прямоугольников равны:$$12 \cdot 30 = 15 \cdot x$$
2. 2
   Находим площадь неизвестного прямоугольника:$$x = \frac{12 \cdot 30}{15} = 24$$

Определение номера подъезда

В доме, в котором живёт Дина, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Дина живёт в квартире № 75. В каком подъезде живёт Дина?

1. 1
   Найдём число квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 6 = 54$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 54. Квартира № 75 расположена во втором подъезде, поскольку $54 < 75 \leq 2 \cdot 54$.$$75 - 54 = 21$$

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 70 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Обозначим через $x$ число верных ответов, через $y$ — число неправильных ответов, через $z$ — число вопросов без ответа. Тогда $x+y+z=70$, причём $y\geq 1$ и $z\geq 1$.$$x+y+z=70$$
2. 2
   По условию о набранных очках получаем:$$9x-17y=153$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 10, 14 и 20. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть скорость Маши при еде любого продукта равна $v$, а скорость Медведя — $3v$. Обозначим время до обмена блюдами через $t_1$, а после обмена — через $t_2$.$$v_{вар} = v,  v_{медведя} = 3v$$
2. 2
   Маша ела варенье в течение $t_1$, а Медведь — в течение $t_2$. Так как варенья они съели поровну:$$v t_1 = 3v t_2 \Rightarrow t_1 = 3t_2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём суммарное число договоров, если считать каждый договор со стороны каждой страны.$$4 \cdot 5 + 6 \cdot 3 = 20 + 18 = 38$$
2. 2
   Каждый договор при таком подсчёте учтён дважды: для каждой из двух стран, его подписавших.$$N = \dfrac{38}{2} = 19$$

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   У десяти столбов всего насчитывается $10 \cdot 8 = 80$ отходящих концов проводов.$$10 \cdot 8 = 80$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому каждый провод учтён дважды.$$N = \dfrac{80}{2} = 40$$

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: голубая, зелёная и жёлтая. Слева от зелёной вазы 27 роз, справа от голубой вазы 23 розы. Всего в вазах 42 розы. Сколько роз в жёлтой вазе?

1. 1
   Сумма 27 и 23 учитывает все розы в трёх вазах, а розы из жёлтой вазы учитываются дважды: они находятся и слева от зелёной, и справа от голубой.$$27 + 23 = 42 + x$$
2. 2
   Находим количество роз в жёлтой вазе:$$x = 27 + 23 - 42 = 8$$

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 2, их произведение увеличилось бы на 44. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

1. 1
   Обозначим два множителя через $a$ и $b$. По условию при увеличении каждого на 2 прирост произведения равен 44:$$(a+2)(b+2)-ab=44$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+2a+2b+4-ab=44;\quad 2a+2b=40;\quad a+b=20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество концов проводов у всех столбов:$$10 \cdot 5 = 50$$
2. 2
   Каждый провод имеет два конца, поэтому при подсчёте по столбам каждый провод учтён дважды:$$50 : 2 = 25$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран две подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся восьми — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём общее число участий стран в договорах:$$2 \cdot 6 + 8 \cdot 5 = 12 + 40 = 52$$
2. 2
   Каждый договор посчитан дважды — по одному разу для каждой из двух стран. Поэтому число договоров равно:$$\dfrac{52}{2} = 26$$

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по семь квартир. Петя живёт в квартире № 67. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На первых девяти этажах расположено $9 \cdot 7 = 63$ квартиры.$$9 \cdot 7 = 63$$
2. 2
   Квартира № 67 находится после квартиры № 63, значит, она расположена на десятом этаже.$$67 > 63$$

Натуральное число и параметры

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно только $6$, $7$ или $8$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=164$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Распил досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 10 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   При каждом распиле количество кусков увеличивается на один. Поэтому число досок плюс число распилов равно числу получившихся кусков.$$x + 10 = 17$$
2. 2
   Находим число досок:$$x = 17 - 10 = 7$$

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Пусть $x$ — число этажей в доме, $y$ — число квартир на этаже, $z$ — число подъездов. Тогда общее число квартир равно произведению этих величин:$$xyz = 165$$
2. 2
   Разложим число $165$ на простые множители:$$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины левой и правой частей прямоугольника через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
2. 2
   Для трёх известных прямоугольников запишем полупериметры:$$a+c=\frac{24}{2}=12,\quad b+c=\frac{28}{2}=14,\quad b+d=\frac{16}{2}=8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Оплата копки колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию: первый член равен 4200 рублей, разность равна 1300 рублей, количество членов равно 11.$$a_1 = 4200,\quad d = 1300,\quad n = 11$$
2. 2
   Найдём общую сумму оплаты по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии.$$S_{11} = \dfrac{11}{2}\bigl(2 \cdot 4200 + (11-1) \cdot 1300\bigr)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении