Площадь прямоугольника равна 240, а одна из сторон равна 10. Найдите диагональ этого прямоугольника.
- 1
Найдём вторую сторону прямоугольника по его площади:$$b = \dfrac{240}{10} = 24$$
- 2
Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:$$d = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120°$. Катет $AC = 33$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $A$ являются смежными:$$A = 180° - 120° = 60°$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим катетом, а $AB$ — гипотенузой:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 12 и 24. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 12 \cdot 18 = 216$$
- 2
Та же площадь равна произведению большей стороны на искомую высоту.$$24h = 216$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $19$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Следовательно, два угла, сумма которых равна $120^\circ$, являются противоположными, и каждый из них равен $60^\circ$.$$120^\circ : 2 = 60^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. При угле $60^\circ$ сторона ромба равна меньшей диагонали, поэтому $a = 19$.$$a = 19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{41}$, $BC = 4$. Найдите $\operatorname{tg} A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{41 - 4^2} = \sqrt{25} = 5$$
- 2
Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5} = 0.8$$
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 14$, $AC = 96$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{96}{2} = 48$$
- 2
Медиана $BM$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ прямоугольного экрана ноутбука равна 40 см, а высота экрана — 24 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
- 1
По теореме Пифагора ширина экрана $x$, высота 24 см и диагональ 40 см образуют прямоугольный треугольник.$$x^2 + 24^2 = 40^2$$
- 2
Выразим ширину экрана и вычислим её значение.$$x = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1600 - 576} = \sqrt{1024} = 32$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 25$, медиана $BM = 7$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $AM = MC$.$$AM^2 + BM^2 = AB^2$$
- 2
Найдём длину половины основания:$$AM = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 37^\circ$, $\angle D = 151^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник является дельтоидом, а диагональ $BD$ — его ось симметрии. Поэтому она делит углы $B$ и $D$ пополам.$$∠ABD = \frac{37^\circ}{2} = 18{,}5^\circ,\quad ∠ADB = \frac{151^\circ}{2} = 75{,}5^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ABD$ и используем сумму его углов.$$∠A = 180^\circ - 18{,}5^\circ - 75{,}5^\circ = 86^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 8$, медиана $BM = \sqrt{39}$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM \perp BM$$
- 2
По теореме Пифагора найдём длину половины основания:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{8^2 - (\sqrt{39})^2} = \sqrt{64 - 39} = 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 2\sqrt{13}$, $\sin A = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC=AB\cdot\sin A=2\sqrt{13}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{13}}=4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $39^\circ$, угол $CAD$ равен $55^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $CAD$ и $CBD$ являются вписанными и опираются на одну и ту же хорду $CD$, поэтому они равны.$$\angle CBD = \angle CAD = 55^\circ$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ABC$ на углы $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 47^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому он делит этот угол на два равных угла.$$\angle DMB = \angle DMC = 47^\circ$$
- 2
Углы $CMA$, $CMD$ и $DMB$ составляют развёрнутый угол, так как точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой.$$\angle CMA + \angle CMD + \angle DMB = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна 27, $\tg \angle CAD = \frac{4}{9}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Так как противоположный углу $CAD$ катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD$, имеем:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
- 2
Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AD = BC = 27$. Найдём вторую сторону:$$CD = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 12$, сторона $AB = 3\sqrt{5}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO = \dfrac{AC}{2} = 6$$
- 2
Найдём второй катет $BO$ по теореме Пифагора.$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 15 и 25, боковая сторона, равная 14, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 14\sin150^\circ = 14\cdot\frac{1}{2}=7$$
- 2
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S=\frac{15+25}{2}\cdot 7=20\cdot 7=140$$
В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 5, а другое — 9. Высота трапеции равна 6. Найдите тангенс острого угла трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется между двумя боковыми сторонами. Горизонтальная проекция боковой стороны равна$$x=\dfrac{9-5}{2}=2$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и этой проекцией. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tan\alpha=\dfrac{6}{2}=3$$
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 154^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Пусть $|\vec u|=|AB|=a$, где $\vec u=\vec{AB}$ и $\vec v=\vec{AD}$. Тогда $\vec{AC}=\vec u+\vec v$, причём $|\vec u+\vec v|=2a$. Угол между $\vec u$ и $\vec u+\vec v$ равен $154^\circ$.$$\vec u\cdot(\vec u+\vec v)=2a^2\cos154^\circ=-2a^2\cos26^\circ$$
- 2
Отсюда найдём скалярное произведение сторон и длину второй стороны.$$\vec u\cdot\vec v=-a^2(1+2\cos26^\circ),\qquad |\vec v|^2=a^2(5+4\cos26^\circ)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 25$, медиана $BM = 24$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и перпендикулярна ему. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM = MC,\quad BM \perp AC$$
- 2
По теореме Пифагора найдём катет $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 52 и 88, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований трапеции равна $88-52=36$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми сторонами, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $36:2=18$.$$x=\frac{88-52}{2}=18$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 30.$$h=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении