Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 88, боковая сторона равна 53. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $88 - 32 = 56$. В равнобедренной трапеции на каждую боковую проекцию приходится половина этой разности: $56 : 2 = 28$.$$x = \frac{88 - 32}{2} = 28$$
- 2
Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и боковой проекцией.$$h = \sqrt{53^2 - 28^2} = \sqrt{2809 - 784} = \sqrt{2025} = 45$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=5:6$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
- 1
Треугольники $MBK$ и $ABC$ имеют общий угол $B$. Их площади можно сравнить как произведение отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
- 2
Подставим данные из условия.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{12}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 6\sin 150^\circ$$
- 2
Вычислим высоту:$$h = 6\cdot\frac{1}{2}=3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $113^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 113^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $38$. Найдите боковую сторону.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота $BK$ к основанию является также биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. Сторона $BK$ прилежит к углу $ABK$, а $AB$ является гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $37$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен:$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $\angle A = 30^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $54^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга $AD$, на которую опирается угол $ABD$, равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot38^\circ=76^\circ$$
- 2
Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot54^\circ=108^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{1}{36}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{1}{36} = 10^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$$
Основания трапеции равны 9 и 15, боковая сторона, равная 4, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции — это перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h=4\sin 150^\circ=4\cdot\frac{1}{2}=2$$
- 2
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S=\frac{9+15}{2}\cdot 2=24$$
В угол с вершиной $C$, равный $83^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 83^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $75$, $\tg \angle CAD = \dfrac{3}{25}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю $AC$, выразим сторону $AD$ через тангенс угла.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AD}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$AD = BC \cdot \tg \angle CAD = 75 \cdot \dfrac{3}{25} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $27$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, а также является биссектрисой угла $B$. Поэтому по обратной теореме о биссектрисе стороны, прилежащие к углу $B$, равны: $AB = BC$.$$AB = BC$$
- 2
Так как медиана является биссектрисой угла $B$, угол $ABM$ равен половине угла $B$.$$\angle ABM = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $ADF$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол правильного восьмиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$$
- 2
Угол $ADF$ является вписанным и опирается на дугу $AHGF$, которая содержит три центральных угла.$$\angle ADF=\frac{3\cdot45^\circ}{2}=67{,}5^\circ$$
В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $BD = 18$.
- 1
Введём векторы $\overrightarrow{AB}=\vec b$ и $\overrightarrow{AD}=\vec d$. Тогда $B=\vec b$, $D=\vec d$, а середина $M$ стороны $BC$ имеет координаты $M=\vec b+\frac12\vec d$.
- 2
Точка $K$ на отрезке $BD$ имеет вид $K=(1-t)\vec b+t\vec d$, а на отрезке $AM$ — вид $K=s\left(\vec b+\frac12\vec d\right)$.$$(1-t)\vec b+t\vec d=s\vec b+\frac{s}{2}\vec d$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 8$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 17$, $\sin A = \dfrac{15}{17}$. Найдите длину стороны $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса угла $A$:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 17 \cdot \dfrac{15}{17} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 12. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
В параллелограмме равные диагонали означают, что он является прямоугольником.
- 2
Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$x^2+12^2=13^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 2\sqrt{5}$, $\sin A = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $42$, $\tg \angle CAD = \dfrac{9}{14}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
- 2
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 42$. Найдём высоту $CD$:$$\dfrac{9}{14} = \dfrac{CD}{42},\quad CD = 42 \cdot \dfrac{9}{14} = 27$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 25$, $AC = 20$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{225} = 15$$
- 2
Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{25} = 0.6$$