В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 39$, $AC = 30$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.$$AB^2 = \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $25$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Поэтому углы, сумма которых равна $120^\circ$, — противоположные, и каждый из них равен $60^\circ$.$$120^\circ : 2 = 60^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. При угле $60^\circ$ этот треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали.$$a = 25$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $60^\circ$, а его периметр равен 32. Найдите меньшую диагональ ромба.
- 1
У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна четверти периметра.$$a = \frac{32}{4} = 8$$
- 2
Так как сумма двух углов ромба равна $60^\circ$, один из углов равен $30^\circ$, а другой — $30^\circ$? Нет: речь идёт о двух равных острых углах, поэтому каждый из них равен $60^\circ$. Меньшая диагональ ромба при угле $60^\circ$ равна…$$d_{\text{меньш}} = a$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 2\sqrt{55}$, диагональ $BD = 6$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $O$. Тогда $AO=\dfrac{AC}{2}=\sqrt{55}$, а $BO=\dfrac{BD}{2}=3$. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO=\sqrt{55},\quad BO=3$$
- 2
Найдём сторону ромба $AB$ по теореме Пифагора.$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{55+9}=8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности радиусом 35 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 14$. Найдите $\cos\angle BAC$.
- 1
Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$AB = 2 \cdot 35 = 70$$
- 2
Угол $ACB$ прямой по теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр. Поэтому для угла $BAC$:$$\cos\angle BAC = \frac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 6$, боковая сторона $BC = 10$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
- 2
Найдём половину основания:$$KC = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 34$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$∠A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике он равен половине гипотенузы.$$BC = \dfrac{AB}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 26$, $AC = 48$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $48 : 2 = 24$. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, найдём половину диагонали $BD$.$$\left(\frac{BD}{2}\right)^2 + 24^2 = 26^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 88^\circ$, $\angle 2 = 16^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $m \parallel n$, углы, образованные секущими с параллельными прямыми, позволяют выразить угол между секущими через развернутый угол.$$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$$
- 2
Подставим известные значения углов и найдём $\angle 3$.$$\angle 3 = 180^\circ - 88^\circ - 16^\circ = 76^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 20$, $\sin A = 0{,}2$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём гипотенузу $AB$.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{20}{0{,}2} = 100$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике одна из сторон равна 48, а диагональ равна 50. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону $b$:$$b^2=50^2-48^2=2500-2304=196$$
- 2
Следовательно, $b=14$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам и равны $80$ и $18$. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Половины диагоналей ромба равны $40$ и $9$. Они являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна стороне ромба.$$a=\sqrt{40^2+9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника равна 300, а одна из сторон равна 20. Найдите диагональ этого прямоугольника.
- 1
Найдём вторую сторону прямоугольника по формуле площади:$$b = \dfrac{S}{a} = \dfrac{300}{20} = 15$$
- 2
Диагональ прямоугольника найдём по теореме Пифагора:$$d = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$$
Стороны параллелограмма равны 10 и 60. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 36. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё:$$S = 10 \cdot 36 = 360$$
- 2
Площадь также равна произведению большей стороны на искомую высоту:$$S = 60h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 34$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.
- 1
Так как $BK$ — биссектриса угла $ABC$, она делит угол $120^\circ$ пополам:$$\angle ABK = \angle KBC = 60^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике с $AB = BC$ биссектриса, проведённая к основанию $AC$, является также высотой. Поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными.$$B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Найдём угол $A$ по сумме углов треугольника.$$A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle D = 120^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Үшбұрыштар $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам: $AB = BC$, $AD = CD$, сторона $BD$ общая.
- 2
Следовательно, диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам:$$\angle ABD = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ,\quad \angle ADB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 15$, $\sin A = 0{,}8$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём гипотенузу:$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{15}{0{,}8} = 18$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна 63, $\tg \angle CAD = \dfrac{2}{21}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
- 2
Так как $AD = BC = 63$, найдём длину стороны $CD$.$$CD = 63 \cdot \dfrac{2}{21} = 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 12$, $AC = BD = 13$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
Так как диагонали параллелограмма равны, параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD \text{ — прямоугольник}$$
- 2
Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдём вторую сторону.$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде