Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 28, боковая сторона равна 17. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $28-12=16$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми сторонами, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $16:2=8$.$$x=\frac{28-12}{2}=8$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 17.$$h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 10\sqrt{3}$, диагональ $BD = 10$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому половины диагоналей равны $5\sqrt{3}$ и $5$.
- 2
В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, найдём сторону ромба:$$AB=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{75+25}=10$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 135^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $66$. Найдите длину большей дуги.
- 1
Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен$$360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$$
- 2
Длины дуг пропорциональны соответствующим центральным углам.$$\frac{x}{66} = \frac{225}{135}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $2420$, сторона $BC = 55$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AB$, которая равна стороне $CD$:$$AB = CD = \dfrac{2420}{55} = 44$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD = BC = 55$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{44}{55} = 0{,}8$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0{,}8$. Гипотенуза $AB = 15$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 15 \cdot 0{,}8 = 12$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $18$. Найдите периметр ромба.
- 1
Два угла ромба, сумма которых равна $240^\circ$, являются противоположными и равными. Поэтому каждый из них равен:$$240^\circ : 2 = 120^\circ$$
- 2
Соседний угол ромба равен:$$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Обе диагонали параллелограмма равны 29. Одна из сторон параллелограмма равна 21. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
По теореме параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$
- 2
Подставим известные значения диагоналей и одной стороны.$$29^2 + 29^2 = 2(21^2 + b^2)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 39$, $AC = 72$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $\frac{AC}{2} = 36$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB = 39$ применяем теорему Пифагора.$$\left(\frac{BD}{2}\right)^2 + 36^2 = 39^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 24$, $\tg A = \dfrac{7}{6}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 12$$
- 2
Используем определение тангенса угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{12} = \dfrac{7}{6}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 32$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = BC = CD = DA = 32$.
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем $\angle A = \angle C = 60^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $30$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$ к основанию является биссектрисой угла $ABC$. Поэтому $\angle ABK = 60^\circ$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза. Используем косинус угла $ABK$.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 8$, $\tg \angle BAC = \dfrac{3}{4}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам:$$AH=HC=\dfrac{AC}{2}=4$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABH$ выразим высоту через тангенс угла $A$:$$\tg \angle BAC=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{3}{4},\quad BH=4\cdot\dfrac{3}{4}=3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 32^\circ$. Найдите угол $DCB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{ADB} = 180^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Стороны параллелограмма равны 16 и 32. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 24. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 16 \cdot 24 = 384$$
- 2
Выразим ту же площадь через большую сторону и искомую высоту.$$32h = 384$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника равна 420, а одна из сторон равна 20. Найдите диагональ этого прямоугольника.
- 1
Найдём вторую сторону прямоугольника по формуле площади:$$b = \dfrac{S}{a} = \dfrac{420}{20} = 21$$
- 2
Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:$$d = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 8$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 3. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому точка $K$ — середина основания $AC$.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2} = 4$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ и найдём боковую сторону $AB$.$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $192$, $BC = 12$. Найдите синус угла $CAB$.
- 1
Поскольку площадь прямоугольника равна произведению его сторон, найдём сторону $AB$:$$AB = \dfrac{192}{12} = 16$$
- 2
Диагональ $AC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$:$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Катет прямоугольного треугольника равен 16, одна из средних линий равна 6. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Значит, соответствующий катет равен:$$b = 2 \cdot 6 = 12$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$$
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 19. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Медиана $BM$, которая одновременно является биссектрисой угла $B$, делит треугольник на два равных треугольника. Следовательно, $AB=BC$, а треугольник $ABC$ равнобедренный.$$AB=BC$$
- 2
Так как $BM$ делит угол $B$ пополам, то $\angle ABM=60^\circ$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому $\angle AMB=90^\circ$.$$\angle ABM=60^\circ,\quad \angle AMB=90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 8$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Поскольку $AB = BC$, треугольник равнобедренный. Высота $BH$, проведённая к основанию $AC$, делит его пополам:$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 4$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ и найдём высоту по тангенсу угла $A$:$$\tg \angle BAC = \dfrac{BH}{AH},\quad BH = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде