Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Угол при биссектрисе

В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если величины заданных углов равны $66^\circ$ и $66^\circ$.

1. 1
   По определению биссектрисы две части угла равны.$$\angle 1=\angle 2=66^\circ$$
2. 2
   Искомый угол равен сумме двух равных частей.$$\angle=66^\circ+66^\circ=132^\circ$$

Сторона равностороннего треугольника

Медиана равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике медиана является высотой. Высота равна $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона треугольника.$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение медианы и найдём сторону:$$13\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad a=26$$

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 13$, $AB = 20$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащей стороной является $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$\sin B = \dfrac{13}{20} = 0,65$$

Угол при основании высоты

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 28^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку точка $H$ лежит на стороне $AC$, угол $BAH$ совпадает с углом $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 28^\circ$$
2. 2
   Так как $BH$ — высота, она перпендикулярна $AC$, поэтому угол $AHB$ прямой.$$\angle AHB = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Другой катет треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.$$x^2+16^2=34^2$$
2. 2
   Выразим неизвестный катет и вычислим его длину.$$x=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30$$

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $54^\circ$ и $58^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 54^\circ - 58^\circ = 68^\circ$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.$$c^2 = a^2 + b^2$$
2. 2
   Подставим значения катетов и найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$$

Тангенс угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $AC = 8$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим значения длин катетов:$$\tg B = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$$

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 9$, $AC = 27$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Для угла $B$ противолежащим катетом является $AC$, а прилежащим катетом — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим значения длин катетов:$$\tg B = \dfrac{27}{9} = 3$$

Косинус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 8$, $AB = 10$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — это $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения длин сторон.$$\cos B = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 10^2 + 24^2$$
2. 2
   Находим гипотенузу:$$c = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$

Угол биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 48^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим значение угла $BAC$ и вычислим:$$\angle BAD = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$$

Угол при высоте треугольника

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 37^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Луч $AH$ лежит на стороне $AC$, поэтому $\angle BAH = \angle BAC = 37^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 102^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение катета по синусу

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{5}{16}$, $AB = 80$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$AB = 80$$
2. 2
   По определению синуса угла $B$ выразим сторону $AC$:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{3}{8}$, $AB = 64$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $BC$.$$\dfrac{3}{8} = \dfrac{BC}{64},\quad BC = 64 \cdot \dfrac{3}{8} = 24$$

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $151^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 151^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 151^\circ = 29^\circ$$

Длина половины основания

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 38$, $BM$ — медиана, $BM = 17$. Найдите $AM$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{38}{2} = 19$$

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $133^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$∠C + ∠C_{\text{внешн.}} = 180^\circ$$
2. 2
   Находим внешний угол:$$∠C_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$$

Синус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 4$, $AB = 5$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.
2. 2
   Используем определение синуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении