Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Катет по косинусу угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{5}{6}$, $AB = 18$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Выразим длину катета $BC$ и подставим известные значения.$$BC = AB \cdot \cos B = 18 \cdot \dfrac{5}{6} = 15$$

Катет по тангенсу угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{12}$, $BC = 48$. Найдите $AC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике тангенс угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Выразим длину катета $AC$ и подставим известные значения.$$AC = BC \cdot \tg B = 48 \cdot \dfrac{7}{12} = 28$$

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $38^\circ$ и $89^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 38^\circ - 89^\circ = 53^\circ$$

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $124^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 124^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$

Угол при медиане

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Найдите градусную меру угла $ABM$, если $AB = BC$ и $\angle ABC = 68^\circ$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с вершиной $B$ и основанием $AC$.
2. 2
   Медиана $BM$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABM = \frac{1}{2}\angle ABC$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при высоте треугольника

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 46^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, поэтому угол $AHB$ прямой.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Угол $BAH$ является частью угла $BAC$, поскольку точки $H$ и $C$ лежат на одной прямой $AC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 46^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты и найдём сторону:$$12\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\quad a = \dfrac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 24$$

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 106°$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из равенства $AB = BC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180°$. Обозначим каждый угол при основании через $x$.$$x + x + 106° = 180°$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка медианы

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 52$, $BM$ — медиана, $BM = 36$. Найдите $AM$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Подставим известную длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{52}{2} = 26$$

Синус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{3}{5}$, $AB = 10$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Катет $AC$ противоположен углу $B$.$$AB = 10$$
2. 2
   Используем определение синуса острого угла.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника и биссектриса

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$. Найдите градусную меру угла $A$, если $\angle CBD = 16^\circ$ и $\angle C = 1^\circ$.

1. 1
   Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, то угол $B$ равен удвоенному углу $CBD$.$$\angle B = 2\angle CBD = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём угол $A$.$$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 32^\circ - 1^\circ = 147^\circ$$

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 122^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит каждый угол при основании равен:$$\angle BCA = \frac{180^\circ - 122^\circ}{2} = 29^\circ$$

Сторона равностороннего треугольника

Биссектриса равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   Биссектриса равностороннего треугольника является его высотой.$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим известную длину биссектрисы и найдём сторону:$$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет по косинусу угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{9}{14}$, $AB = 42$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Выразим длину катета $BC$ и подставим известные значения.$$BC = AB \cdot \cos B = 42 \cdot \dfrac{9}{14} = 27$$

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $106^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 106^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$$

Нахождение стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{5}{8}$, $AB = 16$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащей стороной является $AC$.$$AB = 16, \quad \sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $AC$.$$\dfrac{5}{8} = \dfrac{AC}{16}, \quad AC = 16 \cdot \dfrac{5}{8} = 10$$

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{9}{10}$, $AB = 60$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $BC$.$$BC = AB \cdot \cos B = 60 \cdot \dfrac{9}{10} = 54$$

Другой острый угол

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $68^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
2. 2
   Вычислим второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$$

Угол при высоте треугольника

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 48^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный и $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Луч $AH$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 48^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при медиане

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Найдите градусную меру угла $ABM$, если $AB = BC$ и $\angle MBC = 25^\circ$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$.
2. 2
   Медиана $BM$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла $ABC$.

Ещё 1 шаг — в полном решении