Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $69^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $25^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$: $\angle DAB = 69^\circ$.$$\angle DAB = \angle D = 69^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $DAB$ на угол между сторонами $AD$ и $AC$ и угол между сторонами $AC$ и $AB$. Первый из них является искомым, поскольку $AD \parallel BC$.$$\angle DAC = \angle(AC, BC)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 56, а две его стороны равны 7 и 28. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

1. 1
   Используем формулу площади параллелограмма $S = ah$, откуда высота равна $h = \dfrac{S}{a}$.$$h_1 = \dfrac{56}{7} = 8$$
2. 2
   Для второй стороны найдём вторую высоту.$$h_2 = \dfrac{56}{28} = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагональю и основанием

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $76^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $49^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Основания $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому углы $C$ и $D$ являются односторонними при секущей $CD$ и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle C=180^\circ-\angle D=180^\circ-76^\circ=104^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два угла: угол между меньшим основанием $BC$ и диагональю $AC$, а также угол между диагональю $AC$ и стороной $CD$.$$\angle BCA=\angle BCD-\angle ACD=104^\circ-49^\circ=55^\circ$$

Площадь ромба по диагоналям

Диагональ ромба равна 10, а другая диагональ равна 8. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения диагоналей.$$S = \dfrac{10 \cdot 8}{2} = 40$$

Площадь ромба по периметру

Периметр ромба равен 60, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   Все стороны ромба равны, поэтому найдём длину его стороны по периметру:$$a = \dfrac{60}{4} = 15$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла:$$S = a^2\sin 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   Высота, проведённая из конца меньшего основания, перпендикулярна большему основанию и делит его на отрезки длиной 2 и 6. Следовательно, большее основание равно:$$2+6=8$$
2. 2
   В равнобедренной трапеции отрезки большего основания, выступающие за пределы меньшего основания, равны. Один из них имеет длину 2, значит сумма двух таких отрезков равна:$$2\cdot2=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 26$, $BD = 30$, $AB = 7$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$ и вычислим длину её половины.$$DO = \dfrac{30}{2} = 15$$

Угол равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $131^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы равнобедренной трапеции, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме составляют $180^\circ$, так как основания трапеции параллельны.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Если один угол равен $131^\circ$, то меньший угол равен разности между $180^\circ$ и данным углом.$$\beta = 180^\circ - 131^\circ = 49^\circ$$

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 8.

1. 1
   Так как трапеция равнобедренная, меньшее основание расположено симметрично относительно большего. Боковое смещение с каждой стороны равно$$x=\dfrac{8-4}{2}=2$$
2. 2
   Горизонтальная проекция диагонали от левой вершины большего основания до правой вершины меньшего основания равна$$8-2=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота ромба по углу

Сторона ромба равна 28, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

1. 1
   Высота ромба образует с его стороной прямоугольный треугольник. Высота равна произведению стороны на синус острого угла ромба.$$h = a\sin 30^\circ$$
2. 2
   Подставим значение стороны ромба и вычислим.$$h = 28\cdot\frac{1}{2}=14$$

Высота ромба по углу

Сторона ромба равна 46, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

1. 1
   Высота ромба равна произведению его стороны на синус угла между стороной и основанием.$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим значения стороны и угла:$$h = 46\sin150^\circ = 46\sin30^\circ = 46\cdot\frac{1}{2}=23$$

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   При проведении высоты из конца меньшего основания образуются два прямоугольных треугольника. Так как трапеция равнобедренная, их горизонтальные проекции равны.
2. 2
   Больший из двух отрезков на основании состоит из меньшего отрезка и меньшего основания трапеции. Поэтому длина меньшего основания равна разности отрезков:$$8 - 4 = 4$$

Острый угол ромба

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $36^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Диагонали ромба делят его углы пополам. Поэтому диагональ, проходящая через вершину острого угла, образует с каждой прилегающей стороной половину этого угла.
2. 2
   Из условия и перпендикулярности отрезка к стороне следует, что угол между этой диагональю и стороной при острой вершине равен $36^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньший угол ромба

Один из углов ромба равен $114°$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы ромба являются внутренними односторонними углами при параллельных сторонах, поэтому их сумма равна $180°$.$$114° + \alpha = 180°$$
2. 2
   Находим меньший угол ромба:$$\alpha = 180° - 114° = 66°$$

Углы равнобедренной трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $46^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции два угла при каждом основании равны. Значит, углы, сумма которых равна $46^\circ$, равны:$$\alpha = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$$
2. 2
   Смежные углы трапеции supplementary, поэтому больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ$$

Половина диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 20$, $BD = 26$, $AB = 8$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{26}{2} = 13$$

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $9$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на обе боковые стороны.$$\dfrac{9-3}{2}=3$$
2. 2
   Горизонтальная проекция диагонали состоит из меньшего основания и полученного отрезка.$$l=3+3=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Больший угол ромба

Один из углов ромба равен $76^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы supplementary и в сумме составляют $180^\circ$.$$180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$
2. 2
   Угол $104^\circ$ больше угла $76^\circ$, поэтому он является большим углом ромба.

Диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 24$, $BD = 28$, $AB = 6$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{28}{2} = 14$$

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 7 и 19, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{(7+19)\cdot 6}{2} = \dfrac{26\cdot 6}{2} = 78$$