Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Отрезки средней линии трапеции

Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

1. 1
   Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:$$m=\dfrac{1+19}{2}=10$$
2. 2
   Диагональ пересекает среднюю линию так, что один из получившихся отрезков равен половине меньшего основания, а второй — разности между средней линией и этим отрезком:$$x=\dfrac{1}{2}=0{,}5,\quad y=10-0{,}5=9{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d_1 d_2 \sin\alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_1$ из формулы площади:$$d_1 = \dfrac{2S}{d_2\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_1 = \dfrac{2\cdot36}{15\cdot\frac{2}{5}} = \dfrac{72}{6} = 12$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$4 = \dfrac{d_1 \cdot 7 \cdot \frac{2}{7}}{2}$$
2. 2
   Сократим множители и выразим длину диагонали.$$4 = d_1$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_1$ из формулы площади.$$d_1 = \dfrac{2S}{d_2 \sin \alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$d_1 = \dfrac{2 \cdot 45}{16 \cdot \frac{5}{8}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна 22. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

1. 1
   Вписанная в квадрат окружность касается всех его сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$d = a = 22$$
2. 2
   Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{22}{2} = 11$$

Радиус окружности квадрата

Сторона квадрата равна $14\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = a\sqrt{2}$$
2. 2
   Радиус окружности равен половине диагонали квадрата.$$R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Расстояние между ними равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставляем значение радиуса.$$h = 2 \cdot 12 = 24$$

Основание описанной трапеции

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 11$, $BC = 5$, $CD = 13$. Найдите $AD$.

1. 1
   Для четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = AD + BC$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём основание $AD$.$$11 + 13 = AD + 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Основание описанной трапеции

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 18$, $BC = 9$, $CD = 13$. Найдите $AD$.

1. 1
   В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину основания $AD$.$$AD = 18 + 13 - 9 = 22$$

Высота прямоугольной трапеции

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 36. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Расстояние между ними равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 36 = 72$$

Высота прямоугольной трапеции

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 26 = 52$$

Высота прямоугольной трапеции

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Поэтому высота трапеции равна расстоянию между двумя параллельными касательными, то есть диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 12 = 24$$

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $32^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому её противоположные углы $A$ и $C$ в сумме составляют $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$$

Угол в описанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $46^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а сторона $AB$ является секущей. Поэтому углы $A$ и $B$ — односторонние, их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$$

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $6\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
2. 2
   Найдём сторону квадрата.$$a = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол трапеции в окружности

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $108^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как основания трапеции параллельны, углы $A$ и $B$ являются односторонними внутренними углами при пересечении параллельных прямых боковой стороной $AB$.$$A+B=180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$B=180^\circ-108^\circ=72^\circ$$

Сторона квадрата по радиусу

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $36\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 36\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой $d = a\sqrt{2}$. Поэтому длина стороны равна:$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{72\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 72$$

Высота описанной трапеции

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 24. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 24 = 48$$

Высота описанной трапеции

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны и являются касательными к вписанной окружности. Поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 38 = 76$$

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $22\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r = 2 \cdot 22\sqrt{2} = 44\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2} = 44\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 88$$