Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» — с ответами

Охлаждение вещества по минутам

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $9\,^{\circ}\mathrm{C}$. Найдите температуру вещества в градусах Цельсия…

1. 1
   За 6 минут температура уменьшится на:$$6 \cdot 9 = 54\,^{\circ}\mathrm{C}$$
2. 2
   Вычитаем это уменьшение из начальной температуры:$$-6 - 54 = -60$$

Путь автомобиля до остановки

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 45 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 9 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные автомобилем за секунды торможения, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=45$ и разностью $d=-9$.$$a_n=a_1+(n-1)d$$
2. 2
   До полной остановки автомобиль проходит ненулевые расстояния $45$, $36$, $27$, $18$ и $9$ метров. Следующий член равен нулю, поэтому суммируем пять членов.$$n=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма первых членов прогрессии

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,3 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8…

1. 1
   Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}3$ м и разностью $d = 0{,}5$ м.$$a_1 = 0{,}3,\quad d = 0{,}5,\quad n = 8$$
2. 2
   Найдём сумму первых восьми членов прогрессии.$$S_8 = \frac{8\left(2 \cdot 0{,}3 + (8-1) \cdot 0{,}5\right)}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Охлаждение вещества за семь минут

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $6\,^{\circ}\mathrm{C}$. Найдите температуру вещества в градусах Цельсия…

1. 1
   За 7 минут температура уменьшится на $7 \cdot 6 = 42\,^{\circ}\mathrm{C}$.$$7 \cdot 6 = 42$$
2. 2
   Вычитаем это изменение из начальной температуры.$$T = -9 - 42 = -51$$

Путь автомобиля при торможении

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 18 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 18 и разностью $-3$ м.$$a_1 = 18, \quad d = -3$$
2. 2
   Найдём расстояние, пройденное за пятую секунду.$$a_5 = a_1 + 4d = 18 + 4 \cdot (-3) = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Путь поезда за семь секунд

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7…

1. 1
   Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}6$ м и разностью $d = 0{,}1$ м.$$a_1 = 0{,}6, \quad d = 0{,}1, \quad n = 7$$
2. 2
   Найдём сумму первых семи членов прогрессии.$$S_7 = \dfrac{7}{2}\left(2 \cdot 0{,}6 + (7-1) \cdot 0{,}1\right)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Места в двенадцатом ряду

В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 22, разность равна 2.$$a_1 = 22,\quad d = 2$$
2. 2
   Найдём количество мест в двенадцатом ряду по формуле члена арифметической прогрессии.$$a_{12} = a_1 + (12-1)d = 22 + 11 \cdot 2 = 44$$

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 45 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

1. 1
   Определим число девятиминутных интервалов:$$45 : 9 = 5$$
2. 2
   Масса уменьшается вдвое после каждого интервала, поэтому используем формулу геометрической прогрессии:$$m = 640 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рост колонии микроорганизмов

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…

1. 1
   Определим число получасовых интервалов за 120 минут:$$n = \frac{120}{30} = 4$$
2. 2
   Каждые 30 минут масса умножается на 3, поэтому через 4 интервала масса составит:$$m = 4 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$$

Рост массы колонии

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…

1. 1
   Определим количество двадцатиминутных интервалов за 80 минут:$$n = \frac{80}{20} = 4$$
2. 2
   За каждый интервал масса увеличивается в 3 раза, поэтому вычисляем массу через 4 интервала:$$m = 3 \cdot 3^4 = 3^5 = 243\ \text{мг}$$

Путь поезда за восемь секунд

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,2 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8…

1. 1
   Расстояния, пройденные поездом за последовательные секунды, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}5$ м и разностью $d = 0{,}2$ м.$$a_1 = 0{,}5,\quad d = 0{,}2,\quad n = 8$$
2. 2
   Найдём сумму первых восьми членов прогрессии.$$S_8 = \dfrac{8\left(2 \cdot 0{,}5 + (8-1) \cdot 0{,}2\right)}{2} = 4(1+1{,}4)=9{,}6$$

Места в восьмом ряду

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 25, разность равна 3.$$a_1 = 25,\quad d = 3$$
2. 2
   Найдём количество мест в восьмом ряду по формуле общего члена арифметической прогрессии.$$a_8 = a_1 + (8 - 1)d = 25 + 7 \cdot 3 = 46$$

Охлаждение вещества по минутам

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $5\,^{\circ}\mathrm{C}$. Найдите температуру вещества в градусах Цельсия…

1. 1
   За каждую минуту температура уменьшается на $5\,^{\circ}\mathrm{C}$, поэтому за 9 минут она уменьшится на:$$9 \cdot 5 = 45\,^{\circ}\mathrm{C}$$
2. 2
   Вычитаем это изменение из начальной температуры:$$T = -8 - 45 = -53\,^{\circ}\mathrm{C}$$

Путь автомобиля при торможении

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 30 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния за последовательные секунды образуют арифметическую прогрессию с первым членом 30 м и разностью $-4$ м.$$a_1=30,\quad d=-4$$
2. 2
   Найдём расстояние, пройденное за пятую секунду:$$a_5=a_1+4d=30+4\cdot(-4)=14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Путь поезда за 10 секунд

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 1 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10…

1. 1
   Расстояния, пройденные поездом за секунды, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=1$ м и разностью $d=0{,}5$ м.$$a_1=1,\quad d=0{,}5,\quad n=10$$
2. 2
   Найдём расстояние, пройденное за десятую секунду.$$a_{10}=a_1+(10-1)d=1+9\cdot0{,}5=5{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма первых членов прогрессии

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8…

1. 1
   Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}6$ м и разностью $d = 0{,}4$ м.$$a_1 = 0{,}6,\quad d = 0{,}4,\quad n = 8$$
2. 2
   Найдём сумму расстояний за первые $8$ секунд по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии.$$S_8 = \dfrac{8}{2}\left(2 \cdot 0{,}6 + (8-1) \cdot 0{,}4\right) = 4(1{,}2 + 2{,}8) = 16$$

Путь автомобиля до остановки

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные автомобилем за секунды, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 16 м и разностью $-2$ м.$$a_1 = 16,\quad d = -2$$
2. 2
   До полной остановки автомобиль проезжает положительные расстояния. Последнее из них равно 2 м.$$a_n = 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Места в амфитеатре

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

1. 1
   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=17$, разностью $d=3$ и количеством членов $n=11$.$$a_n=a_1+(n-1)d$$
2. 2
   Найдём количество мест в последнем, одиннадцатом, ряду:$$a_{11}=17+(11-1)\cdot3=47$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Последний ряд амфитеатра

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по пятому и седьмому рядам.$$d=\frac{a_7-a_5}{7-5}=\frac{31-27}{2}=2$$
2. 2
   От пятого до двадцать третьего ряда 18 шагов, поэтому количество мест в последнем ряду равно:$$a_{23}=a_5+(23-5)d=27+18\cdot2=63$$

Путь автомобиля при торможении

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные за секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 20$ м и разностью $d = -3$ м.$$a_1 = 20,\quad d = -3,\quad n = 6$$
2. 2
   Найдём сумму расстояний за первые 6 секунд.$$S_6 = \dfrac{6(2 \cdot 20 + (6-1)(-3))}{2} = 3(40-15) = 75$$