Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» — с ответами

Места в последнем ряду

В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 24 места, а в шестом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по третьему и шестому членам:$$d=\frac{a_6-a_3}{6-3}=\frac{33-24}{3}=3$$
2. 2
   В последнем, восемнадцатом, ряду будет:$$a_{18}=a_3+(18-3)d=24+15\cdot3=69$$

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 48 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

1. 1
   Определим число периодов распада:$$n = \dfrac{48}{8} = 6$$
2. 2
   После каждого периода масса уменьшается вдвое, поэтому масса через 48 минут равна:$$m = 320\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{320}{64} = 5$$

Места в амфитеатре

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=16$, разностью $d=3$ и количеством членов $n=11$.$$a_n=a_1+(n-1)d$$
2. 2
   Найдём количество мест в последнем, одиннадцатом, ряду.$$a_{11}=16+(11-1)\cdot 3=46$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма мест в амфитеатре

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 19$, разностью $d = 3$ и числом членов $n = 10$.$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$
2. 2
   Найдём количество мест в последнем, десятом ряду:$$a_{10} = 19 + (10 - 1) \cdot 3 = 46$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Места в амфитеатре

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

1. 1
   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен $16$, разность равна $2$, число членов равно $14$.$$a_1 = 16,\ d = 2,\ n = 14$$
2. 2
   Найдём сумму мест во всех рядах по формуле суммы арифметической прогрессии.$$S_{14} = \dfrac{14(2 \cdot 16 + (14-1)\cdot 2)}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Места в амфитеатре

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 18, разность равна 2, число членов равно 13.$$a_1 = 18,\quad d = 2,\quad n = 13$$
2. 2
   Найдём сумму мест во всех рядах по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии.$$S_{13} = \dfrac{13}{2}\bigl(2 \cdot 18 + (13-1) \cdot 2\bigr)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рост колонии микроорганизмов

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 5 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…

1. 1
   Определим число тридцатиминутных интервалов:$$n = \dfrac{120}{30} = 4$$
2. 2
   Начальная масса равна 5 мг, а за каждый интервал масса умножается на 3:$$m = 5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405$$

Рост массы колонии

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 18 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…

1. 1
   Определим количество двадцатиминутных интервалов за 60 минут:$$n = \frac{60}{20} = 3$$
2. 2
   За каждый интервал масса увеличивается в 3 раза, поэтому через 60 минут она составит:$$m = 18 \cdot 3^3 = 18 \cdot 27 = 486$$

Высота последовательных прыжков

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик…

1. 1
   Переведём высоту 5 см в метры: $5\text{ см} = 0{,}05\text{ м}$.
2. 2
   Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом $h_1 = 2{,}4$ м и знаменателем $q = \dfrac{1}{2}$.$$h_n = 2{,}4 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

1. 1
   Определим число периодов, за каждый из которых масса уменьшается вдвое.$$n=\frac{40}{8}=5$$
2. 2
   Вычислим массу изотопа после пяти последовательных уменьшений вдвое.$$m=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{160}{32}=5\text{ мг}$$

Места в последнем ряду

В амфитеатре 21 ряд, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 25 мест, а в девятом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

1. 1
   Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по пятому и девятому членам:$$d=\frac{a_9-a_5}{9-5}=\frac{33-25}{4}=2$$
2. 2
   Последний ряд — двадцать первый. От пятого ряда до двадцать первого 16 шагов:$$a_{21}=a_5+(21-5)d=25+16\cdot2=57$$

Места в десятом ряду

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 20, разность равна 2.$$a_1 = 20,\quad d = 2$$
2. 2
   Найдём количество мест в десятом ряду по формуле n-го члена арифметической прогрессии.$$a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = 20 + 9 \cdot 2 = 38$$

Последний ряд амфитеатра

В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места. Сколько мест в последнем ряду…

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по значениям в 7-м и 11-м рядах:$$d = \dfrac{a_{11} - a_7}{11 - 7} = \dfrac{34 - 26}{4} = 2$$
2. 2
   От 7-го ряда до 23-го — 16 шагов. Поэтому количество мест в последнем ряду равно:$$a_{23} = a_7 + (23 - 7)d = 26 + 16 \cdot 2 = 58$$

Рост массы колонии

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…

1. 1
   Определим число тридцатиминутных интервалов за 90 минут:$$90 : 30 = 3$$
2. 2
   За каждый интервал масса умножается на 3, поэтому через три интервала она составит:$$m = 13 \cdot 3^3 = 13 \cdot 27 = 351$$

Последний ряд амфитеатра

В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность по данным о пятом и восьмом рядах:$$d = \frac{a_8-a_5}{8-5} = \frac{36-27}{3} = 3$$
2. 2
   От пятого до четырнадцатого ряда девять переходов. Поэтому количество мест в последнем ряду равно:$$a_{14}=a_5+(14-5)d=27+9\cdot3=54$$

Путь за первые десять секунд

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,9 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10…

1. 1
   Расстояния, пройденные поездом за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}9$ м и разностью $d = 0{,}3$ м.$$a_1 = 0{,}9,\quad d = 0{,}3,\quad n = 10$$
2. 2
   Найдём сумму первых десяти членов прогрессии.$$S_{10} = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 0{,}9 + (10-1) \cdot 0{,}3\right) = 5(1{,}8 + 2{,}7) = 22{,}5$$

Путь при торможении

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 24 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные за секунды, образуют арифметическую прогрессию: первый член равен $24$ м, разность равна $-4$ м, число членов равно $5$.$$a_1 = 24,\quad d = -4,\quad n = 5$$
2. 2
   Найдём сумму первых пяти членов прогрессии.$$S_5 = \dfrac{5(2 \cdot 24 + (5-1) \cdot (-4))}{2} = \dfrac{5(48-16)}{2} = 80$$

Охлаждение вещества за четыре минуты

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $6\,^{\circ}\mathrm{C}$. Найдите температуру вещества в градусах Цельсия…

1. 1
   За 4 минуты температура уменьшится на $4 \cdot 6 = 24\,^{\circ}\mathrm{C}$.$$4 \cdot 6 = 24$$
2. 2
   Вычитаем это изменение из начальной температуры:$$T = -7 - 24 = -31$$

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

1. 1
   Определим число периодов, за которые масса уменьшается вдвое:$$42:7=6$$
2. 2
   Масса через 6 периодов равна:$$m=640\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{640}{64}=10\text{ мг}$$

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

1. 1
   Определим число периодов распада по 9 минут за 36 минут.$$36 : 9 = 4$$
2. 2
   За каждый период масса уменьшается вдвое, поэтому масса через 36 минут равна:$$m = 400 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 400 \cdot \dfrac{1}{16} = 25$$