В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150^\circ$, $AB = 4$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов она связана с радиусом описанной окружности формулой:$$\frac{AB}{\sin C} = 2R$$
- 2
Подставим известные значения и учтём, что $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$:$$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$, $BC = 24$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$AB = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $71^\circ$ и $79^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $8$.
- 1
Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-71^\circ-79^\circ=30^\circ$$
- 2
Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$. По теореме синусов она равна произведению диаметра описанной окружности на синус угла $A$:$$BC=2R\sin A$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника:$$r = \dfrac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150^\circ$, $AB = 26$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По формуле связи стороны и радиуса описанной окружности:$$AB = 2R\sin C$$
- 2
Подставим известные значения и учтём, что $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$:$$26 = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$$
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $9\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Выразим длину стороны:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $14{,}5$. Найдите $AC$, если $BC = 21$.
- 1
Так как центр окружности лежит на стороне $AB$, эта сторона является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 14{,}5 = 29$$
- 2
Угол $ACB$, опирающийся на диаметр $AB$, прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $69^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником.
- 2
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. $AB = 6$, $BC = 8$, $CD = 11$. Найдите $AD$.
- 1
У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 6 + 11 - 8 = 9$$
Сторона квадрата равна $18\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диаметр окружности, описанной около квадрата, совпадает с диагональю квадрата.$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Найдём диагональ квадрата со стороной $18\sqrt{2}$.$$d=18\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=36$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $9\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны треугольника:$$a = R\sqrt{3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника:$$R = \dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $8{,}5$. Найдите $BC$, если $AC = 8$.
- 1
Так как центр окружности лежит на стороне $AB$, отрезок $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 8{,}5 = 17$$
- 2
Угол $ACB$, опирающийся на диаметр, прямой. Применим теорему Пифагора в треугольнике $ABC$.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $19^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 19^\circ = 38^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны, поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$$
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны, а вписанная окружность касается обоих оснований. Поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 30 = 60$$
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $37^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $A$ и $C$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $73^\circ$. Ответ дайте в…
- 1
Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$: точка $O$ и вершина $C$ находятся по одну сторону от прямой $AB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса $7$.
- 1
Окружность, около которой описан квадрат, является вписанной в квадрат. Поэтому диаметр окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата и его площадь:$$a = 2 \cdot 7 = 14, \quad S = a^2 = 14^2 = 196$$
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Окружность касается обоих параллельных оснований трапеции. Поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 28 = 56$$
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $11\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим известное значение радиуса и решим уравнение относительно стороны:$$11\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде