Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Алгебраические уравнения» — с ответами

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{99 - 7x} = 6$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$99 - 7x = 6^2 = 36$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$7x = 99 - 36 = 63$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{9x-47}=4$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$9x-47=4^2=16$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$9x=16+47=63$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём воздуха после сжатия

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 6$ моль воздуха объёмом $V_1 = 56$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ л. Работа…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу работы:$$31\,320 = 5{,}8 \cdot 6 \cdot 300 \cdot \log_2\dfrac{56}{V_2}$$
2. 2
   Найдём значение логарифма:$$\log_2\dfrac{56}{V_2} = \dfrac{31\,320}{5{,}8 \cdot 6 \cdot 300} = 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{36 - 4x} = 2$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$36 - 4x = 2^2$$
2. 2
   Решим полученное уравнение:$$36 - 4x = 4 \Rightarrow 4x = 32 \Rightarrow x = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{44 - 5x} = 3$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$44 - 5x = 3^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$44 - 5x = 9 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём воздуха после сжатия

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха объёмом $V_1 = 120$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л)…

1. 1
   Подставим значения работы, постоянной, количества вещества и температуры в формулу:$$10\,440 = 8{,}7 \cdot 2 \cdot 300 \cdot \log_2\dfrac{120}{V_2}$$
2. 2
   Вычислим коэффициент перед логарифмом и найдём значение логарифма:$$10\,440 = 5220\log_2\dfrac{120}{V_2},\qquad \log_2\dfrac{120}{V_2}=2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Путь автомобиля при разгоне

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 3500\ \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный…

1. 1
   Возведём формулу скорости в квадрат и выразим пройденный путь:$$v^2 = 2la, \qquad l = \frac{v^2}{2a}$$
2. 2
   Подставим $v = 70$ км/ч и $a = 3500\ \text{км/ч}^2$:$$l = \frac{70^2}{2 \cdot 3500} = \frac{4900}{7000} = 0{,}7$$

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{5x - 1} = 7$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$5x - 1 = 7^2 = 49$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$5x = 50,\quad x = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разрядка конденсатора

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 8 \cdot 10^{-6}\ \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R = 5 \cdot 10^6\ \text{Ом}$. Во время работы…

1. 1
   Вычислим коэффициент перед логарифмом:$$\alpha RC = 1{,}5 \cdot 5 \cdot 10^6 \cdot 8 \cdot 10^{-6} = 60$$
2. 2
   Подставим время разрядки в формулу:$$180 = 60\log_2\frac{56}{U}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Ускорение автомобиля по скорости

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь…

1. 1
   Подставим в формулу скорость $v = 70$ км/ч и путь $l = 0{,}5$ км:$$70 = \sqrt{2 \cdot 0{,}5 \cdot a}$$
2. 2
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$70^2 = 2 \cdot 0{,}5 \cdot a$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разрядка конденсатора

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 5 \cdot 10^{-6}\ \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R = 3 \cdot 10^6\ \text{Ом}$. Во время работы…

1. 1
   Вычислим произведение $\alpha RC$:$$\alpha RC = 1{,}5 \cdot 3 \cdot 10^6 \cdot 5 \cdot 10^{-6} = 22{,}5$$
2. 2
   Подставим время $t = 90$ секунд в формулу:$$90 = 22{,}5\log_2\dfrac{32}{U}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{57 - 7x} = 6$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$57 - 7x = 6^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$57 - 7x = 36 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{7x-31}=2$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$7x-31=2^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$7x-31=4 \Rightarrow 7x=35 \Rightarrow x=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{63 - 9x} = 3$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$63 - 9x = 3^2$$
2. 2
   Решим получившееся линейное уравнение:$$63 - 9x = 9 \Rightarrow 9x = 54 \Rightarrow x = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ускорение автомобиля по формуле

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в км/ч^2). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в…

1. 1
   Возведём формулу скорости в квадрат:$$v^2 = 2la$$
2. 2
   Выразим ускорение:$$a = \dfrac{v^2}{2l}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Время наматывания кабеля

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону…

1. 1
   Подставим в формулу значения угла, начальной угловой скорости и углового ускорения:$$2500 = 50t + \dfrac{4t^2}{2}$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение:$$t^2 + 25t - 1250 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём воздуха после сжатия

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 3$ моль воздуха объёмом $V_1 = 16$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ л. Работа…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу работы:$$26730 = 9{,}9 \cdot 3 \cdot 300 \cdot \log_2\dfrac{16}{V_2}$$
2. 2
   Вычислим коэффициент и найдём значение логарифма:$$9{,}9 \cdot 3 \cdot 300 = 8910, \qquad \log_2\dfrac{16}{V_2} = \dfrac{26730}{8910} = 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Давление при сжатии газа

Водолазный колокол, содержащий $\nu$ моль воздуха при давлении $p_1 = 11$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу значения $\alpha$, $\nu$, $T$ и $A$:$$26100=5{,}8\cdot1\cdot300\cdot\log_2\frac{p_2}{11}$$
2. 2
   Найдём значение логарифма:$$\log_2\frac{p_2}{11}=\frac{26100}{5{,}8\cdot300}=15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Изотермическое сжатие воздуха

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 3$ моль воздуха объёмом $V_1 = 80$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л)…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу работы:$$20\,880 = 5{,}8 \cdot 3 \cdot 300 \cdot \log_2 \dfrac{80}{V_2}$$
2. 2
   Вычислим коэффициент перед логарифмом и найдём значение логарифма:$$5{,}8 \cdot 3 \cdot 300 = 5220, \qquad \log_2 \dfrac{80}{V_2} = \dfrac{20\,880}{5220} = 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Ускорение автомобиля по пути

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь…

1. 1
   Подставим в формулу скорость $v = 120$ км/ч и путь $l = 1$ км:$$120 = \sqrt{2 \cdot 1 \cdot a}$$
2. 2
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$120^2 = 2a$$

Ещё 1 шаг — в полном решении