ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Боковые поверхности цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 14, а второго — 7 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$
2. 2
   Запишем отношение площадей боковых поверхностей двух цилиндров:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi r_1h_1}{2\pi r_2h_2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая равна 19. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 6. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра:$$h=19$$
2. 2
   Ширина прямоугольника равна длине хорды основания. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник:$$\frac{a}{2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 4$, $AC = 12$ и $AD = 1$.

1. 1
   Так как рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, объём треугольной пирамиды равен одной шестой произведения длин этих рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 4 \cdot 12 \cdot 1 = 8$$

Объём правильной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $2$, а высота пирамиды равна $9\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь равна$$S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V = \frac{1}{3}S_{осн}h = \frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot 9\sqrt{3} = 9$$

Объём двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 3 и 2, а второго — 8 и 9. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого цилиндра?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Составим отношение объёма второго цилиндра к объёму первого:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 9}{\pi \cdot 3^2 \cdot 2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота конуса по объёму

Объём конуса равен $24\pi$, а радиус его основания равен $2$. Найдите длину высоты этого конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \frac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и радиуса:$$24\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot h$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 9, а второго — 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Для обоих конусов радиус основания и образующая имеют одинаковые значения: $r_1 = r_2 = 2$, $l_1 = l_2 = 9$.$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi r_2 l_2}{\pi r_1 l_1} = \frac{\pi \cdot 2 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 9} = 1$$

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна $4\sqrt{2}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{32-16}=4$$
2. 2
   Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4=8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 12 и 5, а объём параллелепипеда равен 540. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{540}{12 \cdot 5} = 9$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $16\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$16\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13 и 10. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 6.

1. 1
   Подставим значения рёбер $a = 3$, $b = 5$, $c = 6$ в формулу площади поверхности.$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 5 \cdot 6)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(15 + 18 + 30) = 2 \cdot 63 = 126$$

Объём шаров разных радиусов

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего шара?

1. 1
   Объём шара вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём шара радиуса 4 больше объёма шара радиуса 1:$$\dfrac{V_{4}}{V_{1}} = \left(\dfrac{4}{1}\right)^3 = 4^3 = 64$$

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $2$. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$

Площадь поверхности ящика

Ящик, имеющий форму куба с ребром 30 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1. 1
   У куба алты граней. Так как одна грань отсутствует, покрасить нужно пять граней.
2. 2
   Площадь одной грани куба со стороной 30 см:$$S_1 = 30^2 = 900\ \text{см}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 2, а объём параллелепипеда равен 56. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{56}{4 \cdot 2} = 7$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сравнение объёмов цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 3, а второго — 3 и 6. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго цилиндра?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Найдём отношение объёмов первого и второго цилиндров:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 3}{\pi \cdot 3^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 20, а его образующая равна 8. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $8$.
2. 2
   Ширина прямоугольника равна длине хорды основания, находящейся на расстоянии $12$ от центра окружности радиуса $20$.$$2\sqrt{20^2-12^2}=2\sqrt{400-144}=2\cdot16=32$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Найдём отношение объёма второго цилиндра к объёму первого:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 4}{\pi \cdot 2^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объёмы двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 4 и 9, а второго — 6 и 8. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого конуса?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма второго конуса к объёму первого. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде