Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Разность квадратов с корнями

Найдите значение выражения $(3\sqrt{2}-\sqrt{11})(3\sqrt{2}+\sqrt{11})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим выражения из условия.$$(3\sqrt{2}-\sqrt{11})(3\sqrt{2}+\sqrt{11})=(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{11})^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов по основанию 2

Найдите значение выражения $\log_2 1{,}6 + \log_2 5$.

1. 1
   Применим свойство сложения логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_2 1{,}6 + \log_2 5 = \log_2(1{,}6 \cdot 5)$$
2. 2
   Вычислим произведение и значение логарифма.$$\log_2(1{,}6 \cdot 5) = \log_2 8 = 3$$

Значение показательного выражения

Найдите значение выражения $6^{1+\log_{6}2}$.

1. 1
   Преобразуем степень суммы в произведение степеней.$$6^{1+\log_{6}2}=6^1\cdot6^{\log_{6}2}$$
2. 2
   По свойству $a^{\log_a b}=b$ получаем:$$6^1\cdot6^{\log_{6}2}=6\cdot2=12$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $2 \cdot 7^3 + 6 \cdot 7^2$.

1. 1
   Вычислим степени числа $7$:$$7^3 = 343, \quad 7^2 = 49$$
2. 2
   Подставим найденные значения в выражение и выполним умножение:$$2 \cdot 343 + 6 \cdot 49 = 686 + 294 = 980$$

Значение дробного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}5}{1 + \dfrac{1}{9}}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель выражения.$$1 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9}$$
2. 2
   Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим результат.$$\dfrac{1{,}5}{10/9} = 1{,}5 \cdot \dfrac{9}{10} = 1{,}35$$

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{49^6}{7^{11}}$.

1. 1
   Представим число $49$ как степень числа $7$:$$49 = 7^2$$
2. 2
   Применим правило возведения степени в степень:$$49^6 = (7^2)^6 = 7^{12}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{35} \cdot \sqrt{1{,}4}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень.$$\sqrt{35} \cdot \sqrt{1{,}4} = \sqrt{35 \cdot 1{,}4}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{35 \cdot 1{,}4} = \sqrt{49} = 7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(5^{-3})^2}{5^{-8}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе по правилу возведения степени в степень.$$(5^{-3})^2 = 5^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{5^{-6}}{5^{-8}} = 5^{-6-(-8)} = 5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(4\sqrt{3}-2)(4\sqrt{3}+2)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=4\sqrt{3}$ и $b=2$:$$(4\sqrt{3}-2)(4\sqrt{3}+2)=(4\sqrt{3})^2-2^2=16\cdot3-4=44$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{15} - 2\sqrt{5})(\sqrt{15} + 2\sqrt{5})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(\sqrt{15}-2\sqrt{5})(\sqrt{15}+2\sqrt{5})=(\sqrt{15})^2-(2\sqrt{5})^2$$
2. 2
   Вычислим квадраты выражений.$$15-4\cdot5=15-20=-5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $7{,}6 \cdot 10^{-2} + 5{,}4 \cdot 10^{-1}$.

1. 1
   Заменим отрицательные степени десяти десятичными дробями.$$10^{-2}=0{,}01,\quad 10^{-1}=0{,}1$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$7{,}6 \cdot 0{,}01 + 5{,}4 \cdot 0{,}1 = 0{,}076 + 0{,}54 = 0{,}616$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_6 432 - \log_6 12$.

1. 1
   Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_6 432 - \log_6 12 = \log_6\left(\frac{432}{12}\right)$$
2. 2
   Вычисляем частное и представляем результат как степень числа $6$:$$\log_6 36 = \log_6 6^2 = 2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{6^{12}}{2^9 \cdot 3^{11}}$.

1. 1
   Разложим число $6$ на простые множители и применим свойство степени произведения.$$6^{12}=(2\cdot3)^{12}=2^{12}\cdot3^{12}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим степени.$$\dfrac{6^{12}}{2^9\cdot3^{11}}=\dfrac{2^{12}\cdot3^{12}}{2^9\cdot3^{11}}=2^{12-9}\cdot3^{12-11}=2^3\cdot3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{13}-1)(\sqrt{13}+1)$.

1. 1
   Применяем формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставляем $a=\sqrt{13}$ и $b=1$:$$(\sqrt{13}-1)(\sqrt{13}+1)=(\sqrt{13})^2-1^2=13-1=12$$

Произведение сопряжённых корней

Найдите значение выражения $(\sqrt{17}-\sqrt{6})(\sqrt{17}+\sqrt{6})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к сопряжённым множителям.$$(\sqrt{17}-\sqrt{6})(\sqrt{17}+\sqrt{6})=(\sqrt{17})^2-(\sqrt{6})^2$$
2. 2
   Вычислим квадраты арифметических корней и найдём разность.$$17-6=11$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{-7}\cdot 4^5}{4^{-4}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{4^{-7}\cdot 4^5}{4^{-4}}=4^{-7+5-(-4)}$$
2. 2
   Упростим показатель степени и вычислим результат:$$4^{-7+5+4}=4^2=16$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_2 0{,}5 + \log_2 32$.

1. 1
   Представим числа под логарифмами как степени числа $2$:$$0{,}5 = 2^{-1},\qquad 32 = 2^5$$
2. 2
   Вычислим логарифмы:$$\log_2 0{,}5 + \log_2 32 = \log_2 2^{-1} + \log_2 2^5 = -1 + 5 = 4$$

Упростить выражение с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{4\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Разложим число $48$ на множители и вынесем квадратный множитель из-под корня.$$\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим найденное значение в исходное выражение и сократим $\sqrt{3}$.$$\dfrac{4\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\cdot4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=16$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\left(0{,}1\right)^2 \cdot 10^3 : 2^{-2}$.

1. 1
   Возводим десятичную дробь в квадрат:$$\left(0{,}1\right)^2 = 0{,}01$$
2. 2
   Вычисляем произведение:$$0{,}01 \cdot 10^3 = 0{,}01 \cdot 1000 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_2(\log_7 49)$.

1. 1
   Вычислим внутренний логарифм, представив $49$ как степень числа $7$.$$\log_7 49 = \log_7 7^2 = 2$$
2. 2
   Подставим полученное значение во внешнюю функцию.$$\log_2(\log_7 49) = \log_2 2 = 1$$