Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}5 \cdot 10^2}{3 \cdot 10^{-1}}$.

1. 1
   Вычислим степени десяти:$$10^2 = 100,\quad 10^{-1} = 0{,}1$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение:$$\dfrac{1{,}5 \cdot 100}{3 \cdot 0{,}1} = \dfrac{150}{0{,}3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{27^4}{3^6}:9^2$.

1. 1
   Представим все числа как степени числа $3$:$$27^4=(3^3)^4=3^{12},\quad 9^2=(3^2)^2=3^4$$
2. 2
   Применим правила деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{27^4}{3^6}:9^2=\dfrac{3^{12}}{3^6}:3^4=3^{12-6-4}=3^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логарифм с корнем в основании

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{13}} 13$.

1. 1
   Представим корень как степень числа $13$:$$\sqrt{13}=13^{1/2}$$
2. 2
   Найдём показатель степени, в который нужно возвести основание, чтобы получить $13$:$$\left(13^{1/2}\right)^x=13^1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $4^{-2} \cdot \dfrac{4^3}{4^{-1}}$.

1. 1
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{4^3}{4^{-1}}=4^{3-(-1)}=4^4$$
2. 2
   Перемножим степени с одинаковым основанием.$$4^{-2}\cdot 4^4=4^{-2+4}=4^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение показательного выражения

Найдите значение выражения $3^{2+\log_3 7}$.

1. 1
   Разложим степень суммы показателей на произведение степеней:$$3^{2+\log_3 7}=3^2\cdot 3^{\log_3 7}$$
2. 2
   Используем основное свойство логарифма $a^{\log_a b}=b$ и вычислим произведение:$$3^2\cdot 3^{\log_3 7}=9\cdot 7=63$$

Значение показательного выражения

Найдите значение выражения $3^{7\log_3 2}$.

1. 1
   Преобразуем показатель степени и применяем свойство степени произведения:$$3^{7\log_3 2}=(3^{\log_3 2})^7$$
2. 2
   По свойству $a^{\log_a b}=b$ получаем:$$(3^{\log_3 2})^7=2^7=128$$

Умножение арифметических корней

Найдите значение выражения $(\sqrt{12}-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Разложим число $12$ на множители и упростим арифметический корень.$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним умножение.$$(\sqrt{12}-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=(2\sqrt{3}-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$

Упростить выражение с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{6\sqrt{112}}{\sqrt{7}}$.

1. 1
   Разложим число $112$ на множители:$$112 = 16 \cdot 7$$
2. 2
   Вынесем множитель $16$ из-под корня и сократим общий множитель $\sqrt{7}$:$$\dfrac{6\sqrt{112}}{\sqrt{7}} = \dfrac{6\sqrt{16\cdot 7}}{\sqrt{7}} = \dfrac{6\cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = 24$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{0{,}8}{1 + \dfrac{1}{7}}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель дроби:$$1 + \dfrac{1}{7} = \dfrac{8}{7}$$
2. 2
   Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим результат:$$\dfrac{0{,}8}{\frac{8}{7}} = 0{,}8 \cdot \dfrac{7}{8} = 0{,}7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^3}{4^2}:2^2$.

1. 1
   Вычислим значения степеней:$$8^3=512,\quad 4^2=16,\quad 2^2=4$$
2. 2
   Подставим полученные значения и выполним действия слева направо:$$\dfrac{8^3}{4^2}:2^2=\dfrac{512}{16}:4=32:4=8$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{7}}(7^3)$.

1. 1
   Представим квадратный корень как степень с показателем $\frac{1}{2}$:$$\sqrt{7}=7^{1/2}$$
2. 2
   Применим свойство логарифма степени:$$\log_{7^{1/2}}(7^3)=\frac{3}{1/2}=6$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(3\frac{4}{5} - 2{,}8\right) \cdot 6\frac{1}{2}$.

1. 1
   Преобразуем смешанные числа в десятичные дроби:$$3\frac{4}{5} = 3{,}8, \quad 6\frac{1}{2} = 6{,}5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения в скобках:$$3{,}8 - 2{,}8 = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение арифметических корней

Найдите значение выражения $\sqrt{2{,}5}\cdot\sqrt{10}$.

1. 1
   Объединим произведение арифметических корней в один корень.$$\sqrt{2{,}5}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{2{,}5\cdot10}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{2{,}5\cdot10}=\sqrt{25}=5$$

Сложение чисел со степенями

Найдите значение выражения $3{,}4 \cdot 10^2 + 1{,}8 \cdot 10^3$.

1. 1
   Вычислим первое произведение:$$3{,}4 \cdot 10^2 = 3{,}4 \cdot 100 = 340$$
2. 2
   Вычислим второе произведение:$$1{,}8 \cdot 10^3 = 1{,}8 \cdot 1000 = 1800$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{243}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Объединим корни в один, разделив подкоренные выражения:$$\dfrac{\sqrt{243}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{243}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{\dfrac{243}{3}} = \sqrt{81} = 9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $7^{-3} \cdot \dfrac{7^4}{7^{-1}}$.

1. 1
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{7^4}{7^{-1}} = 7^{4-(-1)} = 7^5$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием сложим показатели.$$7^{-3} \cdot 7^5 = 7^{-3+5} = 7^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_3(5^2)}{2\log_3 5}$.

1. 1
   Применим свойство логарифма степени к числителю.$$\log_3(5^2)=2\log_3 5$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.$$\dfrac{\log_3(5^2)}{2\log_3 5}=\dfrac{2\log_3 5}{2\log_3 5}=1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{16^5}{4^9}$.

1. 1
   Представим числа $16$ и $4$ в виде степеней двойки:$$16=2^4,\quad 4=2^2$$
2. 2
   Преобразуем числитель и знаменатель:$$\dfrac{16^5}{4^9}=\dfrac{(2^4)^5}{(2^2)^9}=\dfrac{2^{20}}{2^{18}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^3}{2^4}:2^2$.

1. 1
   Представим число $8$ как степень числа $2$:$$8^3=(2^3)^3=2^9$$
2. 2
   Применим правила деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{8^3}{2^4}:2^2=2^9:2^4:2^2=2^{9-4-2}=2^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{7{,}7}{3{,}7 - 8{,}7}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель дроби:$$3{,}7 - 8{,}7 = -5$$
2. 2
   Разделим числитель на полученный знаменатель:$$\dfrac{7{,}7}{-5} = -1{,}54$$