Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{2^4 \cdot 3^2}$.

1. 1
   Преобразуем степени в квадраты:$$2^4=(2^2)^2, \quad 3^2=3^2$$
2. 2
   Извлекаем квадратный корень:$$\sqrt{2^4 \cdot 3^2}=\sqrt{(2^2)^2 \cdot 3^2}=2^2 \cdot 3=4 \cdot 3=12$$

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(3 \cdot 10^5) \cdot (2{,}8 \cdot 10^{-3})$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и степени десяти:$$(3 \cdot 10^5) \cdot (2{,}8 \cdot 10^{-3}) = (3 \cdot 2{,}8) \cdot 10^{5-3}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$8{,}4 \cdot 10^2 = 8{,}4 \cdot 100 = 840$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_5\left(11^{15}\right)}{3\log_5 11}$.

1. 1
   Применим свойство логарифма степени к числителю.$$\log_5\left(11^{15}\right)=15\log_5 11$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим общий множитель $\log_5 11$.$$\dfrac{\log_5\left(11^{15}\right)}{3\log_5 11}=\dfrac{15\log_5 11}{3\log_5 11}=5$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 0{,}6 + \log_3 405$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 0{,}6 + \log_3 405 = \log_3(0{,}6 \cdot 405)$$
2. 2
   Вычислим произведение и представим его как степень тройки:$$0{,}6 \cdot 405 = 243 = 3^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $5^{-1} \cdot \dfrac{5^6}{5^3}$.

1. 1
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{5^6}{5^3}=5^{6-3}=5^3$$
2. 2
   Перемножим степени с одинаковым основанием:$$5^{-1}\cdot 5^3=5^{-1+3}=5^2=25$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $4{,}6 \cdot 10^2 + 3{,}8 \cdot 10^3$.

1. 1
   Вычислим первое слагаемое:$$4{,}6 \cdot 10^2 = 4{,}6 \cdot 100 = 460$$
2. 2
   Вычислим второе слагаемое:$$3{,}8 \cdot 10^3 = 3{,}8 \cdot 1000 = 3800$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Преобразование выражения с корнями

Найдите значение выражения $(4\sqrt{2}-\sqrt{7})(4\sqrt{2}+\sqrt{7})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению суммы и разности.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Возводим каждый корень в квадрат и вычисляем значение выражения.$$(4\sqrt{2})^2-(\sqrt{7})^2=16\cdot2-7=32-7=25$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^5}{2^{14}}$.

1. 1
   Представим число $8$ как степень числа $2$:$$8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{8^5}{2^{14}} = \dfrac{2^{15}}{2^{14}} = 2^{15-14} = 2$$

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{-5} \cdot 2^9}{2^{-4}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{2^{-5} \cdot 2^9}{2^{-4}} = 2^{-5+9-(-4)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени и значение выражения:$$2^{-5+9+4} = 2^8 = 256$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 972 - \log_3 12$.

1. 1
   Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 972 - \log_3 12 = \log_3 \frac{972}{12}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим его как степень основания логарифма:$$\log_3 \frac{972}{12} = \log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(2^{-4})^2}{2^{-10}}$.

1. 1
   Возведём степень в степень:$$(2^{-4})^2 = 2^{-8}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием, вычтя показатели:$$\dfrac{2^{-8}}{2^{-10}} = 2^{-8-(-10)} = 2^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степени

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{10}}{27^3}$.

1. 1
   Представим число $27$ как степень числа $3$:$$27 = 3^3$$
2. 2
   Возведём эту степень в третью степень:$$27^3 = (3^3)^3 = 3^9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упрощение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{15^7}{3^5 \cdot 5^6}$.

1. 1
   Разложим число $15$ на простые множители и применим свойство степени произведения.$$15^7 = (3 \cdot 5)^7 = 3^7 \cdot 5^7$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{3^7 \cdot 5^7}{3^5 \cdot 5^6} = 3^{7-5} \cdot 5^{7-6} = 3^2 \cdot 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_{4}(\log_{2}16)$.

1. 1
   Вычислим внутренний логарифм, представив $16$ как степень числа $2$.$$\log_{2}16 = \log_{2}2^4 = 4$$
2. 2
   Подставим полученное значение во внешний логарифм.$$\log_{4}(\log_{2}16) = \log_{4}4 = 1$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_7(11^6)}{2\log_7 11}$.

1. 1
   Применим свойство логарифма степени к числителю.$$\log_7(11^6)=6\log_7 11$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим общий множитель $\log_7 11$.$$\dfrac{\log_7(11^6)}{2\log_7 11}=\dfrac{6\log_7 11}{2\log_7 11}=3$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{64^2}{4^3}$.

1. 1
   Вычислим числитель и знаменатель дроби:$$64^2 = 4096,\quad 4^3 = 64$$
2. 2
   Поделим полученные значения:$$\dfrac{64^2}{4^3} = \dfrac{4096}{64} = 64$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{12^4}{12^5 \cdot 12^{-2}}$.

1. 1
   Объединим степени в знаменателе:$$12^5 \cdot 12^{-2} = 12^{5+(-2)} = 12^3$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{12^4}{12^3} = 12^{4-3} = 12^1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(6 \cdot 10^{-6}) \cdot (1{,}1 \cdot 10^4)$.

1. 1
   Перемножим числовые коэффициенты и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием.$$(6 \cdot 10^{-6}) \cdot (1{,}1 \cdot 10^4) = (6 \cdot 1{,}1) \cdot 10^{-6+4}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$6{,}6 \cdot 10^{-2} = 0{,}066 = 6{,}6\mathrm{e}{-2}$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 192 - \log_2 3$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_2 192 - \log_2 3 = \log_2 \frac{192}{3}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень двойки.$$\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_7 686 - \log_7 2$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_7 686 - \log_7 2 = \log_7\frac{686}{2}$$
2. 2
   Вычислим частное и представим результат как степень числа $7$:$$\log_7 343 = \log_7 7^3 = 3$$