ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Дәрежелер, түбірлер, логарифмдер» — жауаптарымен

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{3}729 - \log_{3}9$.

1. 1
   Представим числа под знаками логарифмов в виде степеней основания $3$.$$729 = 3^6,\quad 9 = 3^2$$
2. 2
   Используем определение логарифма и вычислим разность.$$\log_{3}729 - \log_{3}9 = 6 - 2 = 4$$

Логарифм с корнем в основании

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt[7]{11}} 11$.

1. 1
   Представим основание логарифма в виде степени:$$\sqrt[7]{11}=11^{\frac{1}{7}}$$
2. 2
   Запишем число $11$ как степень основания:$$11=\left(11^{\frac{1}{7}}\right)^7$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(5^{-3})^2}{5^{-10}}$.

1. 1
   Возведём степень в степень:$$(5^{-3})^2 = 5^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{5^{-6}}{5^{-10}} = 5^{-6-(-10)} = 5^4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение показательного выражения

Найдите значение выражения $4^{5\log_4 2}$.

1. 1
   Представим число 2 как степень основания 4:$$2=4^{\frac{1}{2}}$$
2. 2
   Следовательно, значение логарифма равно:$$\log_4 2=\frac{1}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сложение чисел в стандартном виде

Найдите значение выражения $9{,}4 \cdot 10^3 + 2{,}2 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим первое произведение:$$9{,}4 \cdot 10^3 = 9{,}4 \cdot 1000 = 9400$$
2. 2
   Вычислим второе произведение:$$2{,}2 \cdot 10^2 = 2{,}2 \cdot 100 = 220$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Умножение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{50}\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Применим свойство произведения квадратных корней.$$\sqrt{50}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{50\cdot2}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{50\cdot2}=\sqrt{100}=10$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{4}{5}\sqrt{60}\cdot\sqrt{15}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{60}\cdot\sqrt{15}=\sqrt{60\cdot15}=\sqrt{900}$$
2. 2
   Вычислим значение корня и умножим на дробь:$$\dfrac{4}{5}\sqrt{900}=\dfrac{4}{5}\cdot30=24$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(4^{-3})^2}{4^{-8}}$.

1. 1
   Возведём степень в степень:$$(4^{-3})^2 = 4^{-6}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{4^{-6}}{4^{-8}} = 4^{-6-(-8)} = 4^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $9{,}4 \cdot 10^2 + 5{,}4 \cdot 10^3$.

1. 1
   Вычислим первое произведение:$$9{,}4 \cdot 10^2 = 9{,}4 \cdot 100 = 940$$
2. 2
   Вычислим второе произведение:$$5{,}4 \cdot 10^3 = 5{,}4 \cdot 1000 = 5400$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение корня

Найдите значение выражения $\sqrt{2^6 \cdot 3^2}$.

1. 1
   Представим степень $2^6$ как квадрат числа $2^3$:$$2^6=(2^3)^2$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{2^6 \cdot 3^2}=\sqrt{(2^3)^2 \cdot 3^2}=2^3\cdot3=8\cdot3=24$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^8}{64^2}$.

1. 1
   Представим $64$ как степень числа $4$:$$64 = 4^3$$
2. 2
   Преобразуем знаменатель:$$64^2 = (4^3)^2 = 4^6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения с дробями

Найдите значение выражения $48 \cdot \left(\dfrac{7}{12} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8}\right)$.

1. 1
   Приведём дроби к общему знаменателю $24$:$$\dfrac{7}{12} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{14}{24} - \dfrac{20}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}$$
2. 2
   Умножим полученное значение на $48$:$$48 \cdot \dfrac{1}{8} = 6$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(0{,}1)^3}{10^{-2}} \cdot 10^2$.

1. 1
   Представим десятичную дробь $0{,}1$ как степень числа $10$:$$0{,}1 = 10^{-1}$$
2. 2
   Возведём степень в степень и применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{(0{,}1)^3}{10^{-2}} \cdot 10^2 = \dfrac{(10^{-1})^3}{10^{-2}} \cdot 10^2 = 10^{-3-(-2)+2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{2\cdot\sqrt{15\cdot 7}}{\sqrt{5\cdot 21}}$.

1. 1
   Вычислим произведения под знаком корня:$$15\cdot 7=105,\quad 5\cdot 21=105$$
2. 2
   Подставим полученные значения и сократим одинаковые корни:$$\dfrac{2\cdot\sqrt{105}}{\sqrt{105}}=2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $ (0{,}01)^2 \cdot 10^4 : 3^{-2}$.

1. 1
   Представим десятичную дробь $0{,}01$ как степень числа $10$ и возведём её в квадрат.$$0{,}01 = 10^{-2}, \qquad (0{,}01)^2 = (10^{-2})^2 = 10^{-4}$$
2. 2
   Перемножим степени с одинаковым основанием.$$10^{-4} \cdot 10^4 = 10^0 = 1$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $8{,}3 \cdot 10^3 + 8{,}2 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим значения степеней он:$$10^3 = 1000, \quad 10^2 = 100$$
2. 2
   Подставим их в выражение и выполним умножение:$$8{,}3 \cdot 1000 + 8{,}2 \cdot 100 = 8300 + 820$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_5 2{,}5 + \log_5 50$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_5 2{,}5 + \log_5 50 = \log_5(2{,}5 \cdot 50)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и представим его как степень числа $5$.$$2{,}5 \cdot 50 = 125 = 5^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Объединим корни в один:$$\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{32}{2}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{\dfrac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{8}{3}\sqrt{72}\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень.$$\sqrt{72}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{72\cdot2}=\sqrt{144}$$
2. 2
   Вычислим значение квадратного корня и умножим на дробь.$$\dfrac{8}{3}\sqrt{144}=\dfrac{8}{3}\cdot12=32$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_3 40{,}5 + \log_3 6$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_3 40{,}5 + \log_3 6 = \log_3(40{,}5 \cdot 6)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и представим результат как степень основания:$$40{,}5 \cdot 6 = 243 = 3^5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде