Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим $\sin\alpha$ из формулы теоремы синусов.$$\sin\alpha=\dfrac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$\sin\alpha=\dfrac{27\cdot\frac{2}{3}}{20}=\dfrac{18}{20}=0{,}9$$

Тангенс угла по косинусу

Найдите $\tg\alpha$, если $\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{17}}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$.

1. 1
   Так как $270^\circ < \alpha < 360^\circ$, угол находится в четвёртой четверти, поэтому $\sin\alpha < 0$.
2. 2
   По основному тригонометрическому тождеству найдём синус:$$\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1}{17}} = -\frac{4}{\sqrt{17}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 6$, $b = 4$ и…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{6+4}{2} \cdot 6$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{10}{2} \cdot 6 = 5 \cdot 6 = 30$$

Нахождение медианы треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot (3\sqrt{2})^2 - 2^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 16 + 2 \cdot 18 - 4 = 64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу значения стороны и синуса угла:$$R = \dfrac{16}{2 \cdot \frac{2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$R = \dfrac{16}{\frac{4}{3}} = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12$$

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из теоремы синусов:$$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$
2. 2
   Подставим данные задачи:$$a=15\cdot\frac{1/5}{1/4}=15\cdot\frac{4}{5}=12$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения $a=5$, $b=8$ и $c=7$ в формулу теоремы косинусов.$$\cos \gamma=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot5\cdot8}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos \gamma=\dfrac{25+64-49}{80}=\dfrac{40}{80}=0.5$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади треугольника.$$10\sqrt{3}=\dfrac{(7+b+8)\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части равенства на $2$ и сократим на $\sqrt{3}$.$$20=15+b$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2 = \dfrac{2 \cdot 51}{17 \cdot \frac{1}{3}} = \dfrac{102 \cdot 3}{17} = 18$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим значения $a=6$, $b=8$ и $c=7$ в формулу.$$l_c=\dfrac{1}{6+8}\sqrt{6\cdot8\left((6+8)^2-7^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$6\cdot8\left(14^2-7^2\right)=48\cdot147=7056$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 5…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{5+29+30}{2} = 32$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{32(32-5)(32-29)(32-30)} = \sqrt{32 \cdot 27 \cdot 3 \cdot 2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 3$…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{11})^2 - 6^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{11})^2 - 6^2 = 18 + 22 - 36 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 8} = \dfrac{4}{40} = 0{,}1$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим данные в формулу радиуса описанной окружности.$$R = \dfrac{12}{2 \cdot \frac{2}{5}}$$
2. 2
   Упростим знаменатель и разделим число на дробь.$$R = \dfrac{12}{\frac{4}{5}} = 12 \cdot \dfrac{5}{4} = 15$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Вычислим сумму и произведение заданных сторон:$$a+b=3+12=15,\quad ab=3\cdot12=36$$
2. 2
   Найдём квадрат стороны $c$:$$c^2=(10\sqrt{2})^2=200$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим значения $a=7$, $b=21$ и $c=26$ в формулу.$$l_c=\dfrac{1}{7+21}\sqrt{7\cdot21\left((7+21)^2-26^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$(7+21)^2-26^2=28^2-26^2=108$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Теорема синусов и угол

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha=\frac{4\cdot\frac{1}{10}}{1}=0.4$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$25{,}5 = \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot d_2 \cdot \dfrac{3}{13}$$
2. 2
   Сократим множители и найдём длину диагонали:$$25{,}5 = 1{,}5d_2,\qquad d_2 = \dfrac{25{,}5}{1{,}5} = 17$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 5…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{5+12+13}{2} = 15$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус острого угла

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{19}}{10}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   По основному тригонометрическому тождеству найдём квадрат косинуса:$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{19}}{10}\right)^2 = 1 - \dfrac{19}{100} = \dfrac{81}{100}$$
2. 2
   Угол $\alpha$ острый, поэтому его косинус положителен:$$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{81}{100}} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$$