ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $\angle AOB = 60^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $19$. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Центральный угол меньшей дуги равен $60^\circ$, поэтому меньшая дуга составляет $\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$ длины окружности.$$\ell_{\text{меньш.}} = \frac{1}{6}L$$
2. 2
   Длина всей окружности равна:$$L = 19 \cdot 6 = 114$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 9$, $AC = BD = 41$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   В параллелограмме равные диагонали означают, что он является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   Найдём длину второй стороны прямоугольника по теореме Пифагора:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600} = 40$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Синус угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $168$, $BC = 24$. Найдите синус угла $CAB$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AB$:$$AB = \dfrac{168}{24} = 7$$
2. 2
   Треугольник $ABC$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 35$. Найдите $BD$.

1. 1
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, поэтому $AB = AD = 35$.$$AB = AD = 35$$
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия следует:$$\angle A = \angle C = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 39$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при одной вершине в сумме дают $180^\circ$.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ противолежит углу $A$, а $AB$ является гипотенузой. Поэтому применяем определение синуса.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба равна 5, одна из его диагоналей равна 8. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половина известной диагонали равна $8 : 2 = 4$. В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, по теореме Пифагора найдём половину второй диагонали.$$x^2 + 4^2 = 5^2$$
2. 2
   Вычислим $x$ и длину второй диагонали.$$x = \sqrt{25 - 16} = 3,\quad d_2 = 2x = 6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике одна из сторон равна 99, а диагональ равна 101. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b = \sqrt{101^2 - 99^2} = \sqrt{(101 - 99)(101 + 99)} = \sqrt{2 \cdot 200} = 20$$
2. 2
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.$$S = 99 \cdot 20 = 1980$$

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 34$. Найдите длину катета $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Синус угла равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 12$, $AC = 12\sqrt{3}$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Проведём высоту $BD$ к основанию $AC$. Тогда $AD = DC = \dfrac{AC}{2} = 6\sqrt{3}$.$$AD = DC = 6\sqrt{3}$$
2. 2
   Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора найдём высоту $BD$.$$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 - 108} = 6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 14$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $C$ supplementary к внешнему углу:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AB = BC = 14$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C = 30^\circ$, поэтому $\angle B = 120^\circ$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 39$, $\cos A = \dfrac{5}{13}$. Найдите длину стороны $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — прилежащим к углу $A$ катетом.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$.$$AC = AB \cdot \cos A = 39 \cdot \dfrac{5}{13} = 15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол по диаметрам окружности

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $130^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём центральный угол $AOB$:$$\angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол при параллельных прямых

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 77^\circ$, $\angle 2 = 9^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол наклона первой секущей к горизонтальному направлению равен $77^\circ$, а второй секущей — $9^\circ$.
2. 2
   Угол $\angle 3$ складывается из этих двух углов.$$\angle 3 = 77^\circ + 9^\circ = 86^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{34}$, $BC = 3$. Найдите $\tg A$.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{34 - 3^2} = \sqrt{25} = 5$$
2. 2
   Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$:$$\tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 47$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными, поэтому$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой:$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Углы при параллельных прямых

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 6^\circ$, $\angle 2 = 101^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, углы, образованные секущими и параллельными прямыми, можно рассматривать как части развернутого угла.$$\angle 1 + \angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известные значения углов и найдём угол $3$.$$\angle 3 = 180^\circ - 6^\circ - 101^\circ = 73^\circ$$

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 44 и 76, боковая сторона равна 65. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $76-44=32$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по бокам, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $32:2=16$.$$x=\frac{76-44}{2}=16$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора.$$h=\sqrt{65^2-16^2}=\sqrt{3969}=63$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его периметр равен $20$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   Сумма двух противоположных равных углов ромба равна $240^\circ$, поэтому каждый из них равен $120^\circ$. Другие углы равны $60^\circ$.$$120^\circ:2=120^\circ,\quad 360^\circ-2\cdot120^\circ=120^\circ,\quad 120^\circ:2=60^\circ$$
2. 2
   Найдём длину стороны ромба по его периметру.$$a=\frac{20}{4}=5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол при биссектрисе

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 65^\circ$. Найдите величину угла $CMA$.

1. 1
   Так как луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, то углы $DMC$ и $DMB$ равны.$$\angle DMB = \angle DMC = 65^\circ$$
2. 2
   Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = \angle DMC + \angle DMB = 65^\circ + 65^\circ = 130^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 43^\circ$ и $\angle BDC = 88^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из условия $AB = CD$ следует, что трапеция $ABCD$ равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = 43^\circ + 88^\circ = 131^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде