ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Натурал сандар және бөлінгіштік» — жауаптарымен

Сумма делителей произведения простых чисел

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $154$ представлено как произведение трёх различных простых чисел: $2$, $7$ и $11$.$$154=2\cdot7\cdot11$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(7+1)(11+1)=3\cdot8\cdot12=288$$

Число из цифр 1 и 5

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на 55. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим число $55$ на взаимно простые множители:$$55=5\cdot 11$$
2. 2
   Для делимости на $5$ шестизначное число, состоящее из цифр $1$ и $5$, должно оканчиваться цифрой $5$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Пятизначное число по цифрам

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 3, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим пятизначное число $11313$.
2. 2
   Сумма его цифр равна произведению цифр:$$1+1+3+1+3=9,\qquad 1\cdot1\cdot3\cdot1\cdot3=9$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 75

Найдите четырёхзначное число, кратное 75, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 75, должно делиться на 25. Из возможных окончаний на 25, 50, 75 и 00 условию о нечётности всех цифр удовлетворяет только окончание 75.
2. 2
   Выберем перед окончанием 75 две различные нечётные цифры, например 3 и 9. Получаем число 3975.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Трёхзначное число кратное 70

Найдите трёхзначное число, кратное 70, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 2, но не делится на 4. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Возьмём трёхзначное число $350$ и проверим его кратность 70.$$350 = 70 \cdot 5$$
2. 2
   Все цифры числа различны: $3$, $5$ и $0$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и удвоение

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 0, 3, 5, 8, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 0, 1, 6, 7. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$.

1. 1
   Проверим число, составленное из цифр 0, 3, 5, 8, в соответствии с условием.$$A = 3508$$
2. 2
   Умножим его на 2.$$2A = 2 \cdot 3508 = 7016$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 24715905 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. Запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 30, должно делиться на 10. Поэтому последней цифрой оставшегося числа должна быть цифра 0.
2. 2
   Для делимости на 3 сумма цифр числа должна делиться на 3. Выберем цифры 2, 7, 1, 5 и 0; их сумма равна 15, а 15 делится на 3.$$2+7+1+5+0=15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 12, должно делиться и на 3, и на 4.
2. 2
   Вычеркнем из числа 23462141 цифры 3, 1 и 1. Получим число 24624.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Число, делящееся на цифры

Найдите натуральное число, большее 650, но меньшее 800, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры которого различны и не равны нулю. Запишите любое одно такое число.

1. 1
   Подберём число в диапазоне от 651 до 799 с различными ненулевыми цифрами. Подходит число $735$.
2. 2
   Проверим делимость на каждую цифру числа:$$735 : 7 = 105,\quad 735 : 3 = 245,\quad 735 : 5 = 147$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Убывающие цифры числа

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 4000, но меньшее 6500, которое делится на 45 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число делится на $45 = 5 \cdot 9$, оно должно делиться на 5 и на 9.
2. 2
   Для делимости на 5 последняя цифра должна быть $0$ или $5$. При строгом убывании цифр удобно выбрать последнюю цифру $0$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сумма делителей числа

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $138$ представлено в виде произведения различных простых чисел: $138=2\cdot3\cdot23$.$$p_1=2,\quad p_2=3,\quad p_3=23$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(3+1)(23+1)=3\cdot4\cdot24$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и куб

Найдите четырёхзначное число, которое в 6 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Обозначим искомое четырёхзначное число через $x$, а натуральное число — через $n$. По условию $x$ в 6 раз меньше куба числа $n$:$$x = \dfrac{n^3}{6}$$
2. 2
   Выберем натуральное число $n = 24$. Его куб равен:$$24^3 = 13824$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Трёхзначное число кратное 11

Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $154$. Его цифры $1$, $5$ и $4$ различны, поэтому условие о различных цифрах выполнено.
2. 2
   Проверим кратность 11:$$154 = 11 \cdot 14$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число, делящееся на цифры

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 800, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $816$: оно трёхзначное и больше $800$, а его цифры $8$, $1$ и $6$ различны и не равны нулю.
2. 2
   Проверим делимость числа на каждую свою цифру:$$816 : 8 = 102,\quad 816 : 1 = 816,\quad 816 : 6 = 136$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Число по признакам делимости

Найдите натуральное число, большее 1000, но меньшее 1700, которое делится на 45 и сумма цифр которого равна 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число делится на $45=5\cdot9$, оно должно делиться на $5$ и на $9$.
2. 2
   Число $1395$ находится в требуемом диапазоне: $1000<1395<1700$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке 1, а цифры в его записи расположены в порядке убывания слева направо. Запишите какое-нибудь одно…

1. 1
   Если при делении числа на 3, 5 и 7 получается остаток 1, то число на 1 больше общего кратного этих чисел.$$n - 1 \vdots 3,\quad n - 1 \vdots 5,\quad n - 1 \vdots 7$$
2. 2
   Так как числа 3, 5 и 7 попарно взаимно просты, их произведение равно 105. Значит, искомое число имеет вид:$$n = 105k + 1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Удвоение четырёхзначного числа

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 1, 3, 6, 8, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 2, 3, 6, 7. Известно, что $B=2A$. Найдите число $A$. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число, большее…

1. 1
   Число $A$ должно быть составлено из цифр 1, 3, 6, 8 и быть больше 1500. Проверим подходящую перестановку цифр.
2. 2
   Удвоим число $1638$:$$2\cdot1638=3276$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Пятизначное число кратное 18

Найдите пятизначное число, кратное 18, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 18, должно быть кратно 2 и 9. Значит, его последняя цифра должна быть чётной, а сумма цифр — кратной 9.
2. 2
   Подберём пятизначную последовательность цифр, в которой соседние цифры отличаются на 3: $6, 9, 6, 9, 6$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Среднее арифметическое отметок

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$2118 = 2 \cdot 3 \cdot 353$$
2. 2
   Числа, получившиеся при расстановке знаков умножения, должны быть составлены из пяти отметок — цифр от 2 до 5. Единственный подходящий вариант: $353 \cdot 2 \cdot 3 = 2118$. Поэтому отметки Пети: 3, 5, 3, 2, 3.$$3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 353 \cdot 2 \cdot 3 = 2118$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі по произведению

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложение числа 13075 на множители позволяет восстановить пять подряд записанных отметок, между некоторыми из которых стоят знаки умножения.
2. 2
   Для найденных пяти отметок вычисляется среднее арифметическое: сумма отметок делится на 5.

Ещё 1 қадам — толық шешімде