Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Автобусы для перевозки детей

В летнем лагере 168 детей и 26 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 45 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти:$$168 + 26 = 194$$
2. 2
   Разделим количество пассажиров на вместимость одного автобуса:$$194 : 45 = 4\frac{14}{45}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Автобусы для лагеря

В летнем лагере 165 детей и 23 воспитателя. В одном автобусе можно перевозить не больше 44 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти.$$165 + 23 = 188$$
2. 2
   Разделим количество пассажиров на вместимость одного автобуса.$$\frac{188}{44} \approx 4{,}27$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость бутылки с квасом

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка с…

1. 1
   Найдём стоимость 1 литра кваса. При увеличении объёма бутылки на 1 литр цена увеличивается на:$$90 - 50 = 40$$
2. 2
   Значит, 1 литр кваса стоит 40 рублей, а стоимость пустой бутылки равна:$$50 - 40 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сравнение стоимости проезда

Стоимость проездного билета на месяц составляет 720 рублей, а стоимость билета на одну поездку 30 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 38 поездок. На сколько рублей больше она бы…

1. 1
   Если бы Аня покупала билеты на каждую поездку, она потратила бы:$$38 \cdot 30 = 1140$$
2. 2
   Найдём, на сколько эта сумма больше стоимости проездного:$$1140 - 720 = 420$$

Автобусы для лагеря

В летнем лагере 157 детей и 22 воспитателя. В одном автобусе можно перевозить не больше 52 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти.$$157 + 22 = 179$$
2. 2
   Определим количество автобусов. Трёх автобусов недостаточно, поскольку $3 \cdot 52 = 156 < 179$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сравнение стоимости поездок

Стоимость проездного билета на месяц составляет 630 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 27 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 40 поездок. На сколько рублей больше она бы…

1. 1
   Если бы Аня покупала билеты на каждую поездку, она потратила бы:$$27 \cdot 40 = 1080$$
2. 2
   Найдём, на сколько рублей эта сумма больше стоимости проездного:$$1080 - 630 = 450$$

Автобусы для перевозки людей

В летнем лагере 229 детей и 28 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 48 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти.$$229 + 28 = 257$$
2. 2
   Разделим количество пассажиров на вместимость одного автобуса.$$257 : 48 = 5\frac{17}{48}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество палаток в походе

В школе есть трёхместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 11 человек?

1. 1
   Одна палатка вмещает 3 человека, поэтому для 11 человек требуется $11 : 3$ палатки.
2. 2
   Трёх палаток недостаточно, так как они вмещают только $3 \cdot 3 = 9$ человек. Берём 4 палатки: они вмещают $3 \cdot 4 = 12$ человек.

Экономия на проездном

Стоимость проездного билета на месяц составляет 600 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 20 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 41 поездку. На сколько рублей больше она бы…

1. 1
   Если бы Аня покупала билеты на каждую поездку, она потратила бы:$$41 \cdot 20 = 820$$
2. 2
   Найдём, на сколько эта сумма больше стоимости проездного:$$820 - 600 = 220$$

Точки после пяти прыжков

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После пяти прыжков возможные координаты имеют нечётную абсолютную величину, не превосходящую $5$.$$x \in \{-5,-3,-1,1,3,5\}$$
2. 2
   Перечислим все различные точки, в которых кузнечик может оказаться: $-5$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $5$.$$6$$

Точки на координатной прямой

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Вычислим или оценим значения чисел:$$\dfrac{4}{3}\approx1{,}33$$
2. 2
   Степень с показателем $-1$ означает обратное число:$$\left(\dfrac{7}{20}\right)^{-1}=\dfrac{20}{7}\approx2{,}86$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Позиции кузнечика после прыжков

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За 8 прыжков кузнечик может сместиться от начала координат максимум на 8 единиц, поэтому возможные координаты лежат от $-8$ до $8$.
2. 2
   Так как число прыжков чётное, координата после каждого маршрута будет чётной. Все чётные координаты от $-8$ до $8$ достижимы.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Соответствие чисел точкам

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Вычислим или оценим значения чисел.$$\left(\dfrac{37}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{37}\approx0{,}08$$
2. 2
   Число $\dfrac{3}{37}$ соответствует точке $A$, расположенной немного правее нуля.

Ещё 3 шага — в полном решении

Прыжки кузнечика по прямой

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 6 прыжков возможны только чётные координаты от $-6$ до $6$.$$x\in\{-6,-4,-2,0,2,4,6\}$$
2. 2
   Все перечисленные точки достижимы: число прыжков вправо и влево можно подобрать для каждой координаты.$$6-(-6)\,/\,2=6+1=7$$

Сопоставление чисел на прямой

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Вычислим первое число. Так как $4^{-1/2}=0{,}5$, получаем:$$\log_{4}0{,}5=-\frac{1}{2}=-0{,}5$$
2. 2
   Вычислим второе число:$$\frac{50}{11}\approx4{,}55$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Точки после прыжков кузнечика

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 8 прыжков координата лежит от $-8$ до $8$.
2. 2
   Так как число прыжков чётное, координата после 8 прыжков также должна быть чётной. Все значения от $-8$ до $8$ с чётным шагом достижимы:$$-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пятизначное число кратное 22

Найдите пятизначное число, кратное 22, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 22, должно делиться на 2 и на 11. Для числа $69696$ последняя цифра чётная, поэтому оно делится на 2.
2. 2
   Проверим признак делимости на 11:$$6-9+6-9+6=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число по условиям

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 6500, но меньшее 7500, которое делится на 15 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей.

1. 1
   Число больше 6500 и меньше 7500, поэтому его первая цифра может быть только 6 или 7. С учётом убывания цифр подходит начало с цифрой 6.
2. 2
   Для делимости на 15 число должно делиться на 3 и на 5. Последняя цифра при строгом убывании может быть равна 0 или 5. Возьмём последнюю цифру 0.

Ещё 2 шага — в полном решении

Делимость числа на 30

Вычеркните в числе 81567105 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 30, должно делиться на 3 и на 10. Поэтому его последняя цифра должна быть 0, а сумма цифр — кратна 3.$$30 = 3 \cdot 10$$
2. 2
   Вычеркнем из числа 81567105 цифры 6, 7 и последнюю цифру 5. Получим число 81510.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее число без девятки

Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.

1. 1
   Наибольшая возможная сотенная цифра — $8$, так как цифру $9$ использовать нельзя.
2. 2
   Наибольшая возможная десятковая цифра также равна $8$.

Ещё 2 шага — в полном решении