Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Разность квадратов радикалов

Найдите значение выражения $(2\sqrt{5}-\sqrt{14})(2\sqrt{5}+\sqrt{14})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Возводим радикалы в квадрат и вычисляем:$$(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{14})^2=4\cdot5-14=20-14=6$$

Преобразование выражения

Найдите значение выражения $(3\sqrt{2}-\sqrt{5})(3\sqrt{2}+\sqrt{5})$.

1. 1
   Применяем формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставляем $a=3\sqrt{2}$ и $b=\sqrt{5}$.$$(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{5})^2=9\cdot2-5=18-5=13$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{13}-2\sqrt{3})(\sqrt{13}+2\sqrt{3})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим.$$(\sqrt{13}-2\sqrt{3})(\sqrt{13}+2\sqrt{3})=(\sqrt{13})^2-(2\sqrt{3})^2=13-12=1$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{20}{(4\sqrt{5})^2}$.

1. 1
   Возведём знаменатель в квадрат:$$(4\sqrt{5})^2=4^2\cdot(\sqrt{5})^2=16\cdot5=80$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$\dfrac{20}{80}=0{,}25$$

Значение выражения с дробями

Найдите значение выражения $\dfrac{7}{30} + \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{5}$.

1. 1
   Сначала перемножим дроби и сократим результат:$$\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{45} = \dfrac{4}{15}$$
2. 2
   Сложим полученную дробь с первой дробью:$$\dfrac{7}{30} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{30} + \dfrac{8}{30} = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{11} \cdot 6^{10}}{12^9}$.

1. 1
   Разложим числа $6$ и $12$ на простые множители:$$6 = 2 \cdot 3, \qquad 12 = 2^2 \cdot 3$$
2. 2
   Подставим разложения в исходное выражение и объединим степени:$$\dfrac{2^{11} \cdot (2 \cdot 3)^{10}}{(2^2 \cdot 3)^9} = \dfrac{2^{11} \cdot 2^{10} \cdot 3^{10}}{2^{18} \cdot 3^9}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение произведения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{14} - 3\sqrt{2})(\sqrt{14} + 3\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{14}$ и $b=3\sqrt{2}$:$$(\sqrt{14})^2-(3\sqrt{2})^2=14-9\cdot2=14-18=-4$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{5}{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{54}$.

1. 1
   Объединим корни в один корень:$$\sqrt{6}\cdot\sqrt{54}=\sqrt{6\cdot54}=\sqrt{324}=18$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\dfrac{5}{3}\cdot18=30$$

Значение произведения радикалов

Найдите значение выражения $(\sqrt{15}-\sqrt{2})(\sqrt{15}+\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Возводим корни в квадрат и вычисляем разность:$$(\sqrt{15}-\sqrt{2})(\sqrt{15}+\sqrt{2})=(\sqrt{15})^2-(\sqrt{2})^2=15-2=13$$

Умножение квадратных корней

Найдите значение выражения $\sqrt{20} \cdot \sqrt{3{,}2}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень.$$\sqrt{20} \cdot \sqrt{3{,}2} = \sqrt{20 \cdot 3{,}2}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{20 \cdot 3{,}2} = \sqrt{64} = 8$$

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{18}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Преобразуем первый корень:$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним действия:$$(3\sqrt{2}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot 2=4$$

Значение выражения

Найдите значение выражения.

1. 1
   В предоставленном тексте и на скриншоте числовое выражение отсутствует.
2. 2
   Без самого выражения определить числовой ответ нельзя.

Вычисление значения выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{5}{3}\sqrt{75}\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней:$$\sqrt{75}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{75\cdot3}=\sqrt{225}=15$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\dfrac{5}{3}\cdot15=25$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $22\sin 390^\circ$.

1. 1
   Представим угол $390^\circ$ как сумму $360^\circ$ и $30^\circ$.$$390^\circ=360^\circ+30^\circ$$
2. 2
   По периодичности синуса получаем:$$\sin390^\circ=\sin30^\circ=\frac{1}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{28}-\sqrt{7})\cdot\sqrt{7}$.

1. 1
   Разложим число $28$ на множители и упростим корень:$$\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение:$$(\sqrt{28}-\sqrt{7})\cdot\sqrt{7}=(2\sqrt{7}-\sqrt{7})\cdot\sqrt{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение дроби с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Разложим число $12$ на множители $3$ и $4$.$$12=3\cdot4$$
2. 2
   Преобразуем числитель и сократим общий множитель.$$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3\cdot4}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$$

Разность квадратов корней

Найдите значение выражения $(\sqrt{17}-\sqrt{6})(\sqrt{17}+\sqrt{6})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим выражения под корнями и вычислим:$$(\sqrt{17}-\sqrt{6})(\sqrt{17}+\sqrt{6})=(\sqrt{17})^2-(\sqrt{6})^2=17-6=11$$

Значение дроби с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Объединим корни в один корень:$$\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{8}{2}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{\dfrac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$$

Значение произведения разностей

Найдите значение выражения $(4\sqrt{2}-\sqrt{14})(4\sqrt{2}+\sqrt{14})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению суммы и разности.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Возводим подкоренные выражения в квадрат и вычисляем разность.$$(4\sqrt{2})^2-(\sqrt{14})^2=16\cdot2-14=32-14=18$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{(7\sqrt{2})^2}{28}$.

1. 1
   Раскроем квадрат произведения:$$(7\sqrt{2})^2=7^2\cdot(\sqrt{2})^2$$
2. 2
   Вычислим значение числителя:$$7^2\cdot(\sqrt{2})^2=49\cdot2=98$$

Ещё 1 шаг — в полном решении