Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Исследование графика функции

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ задают на оси $Ox$ интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или…

1. 1
   На интервале $(a;b)$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому значение функции положительно.$$f(x)>0$$
2. 2
   На интервале $(b;c)$ график убывает, поэтому производная функции отрицательна.$$f'(x)<0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Давление во вторник

На рисунке показано изменение атмосферного давления в течение трёх суток. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба). Определите…

1. 1
   На графике выделяем участок, соответствующий вторнику.
2. 2
   Находим наибольшую высоту линии графика на этом участке и считываем значение по вертикальной шкале: 755 мм рт. ст.

Знаки коэффициентов параболы

На рисунках изображены графики функций вида $y=ax^2+bx+c$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$.

1. 1
   Для квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ знак $a$ определяется направлением ветвей параболы: вверх — $a>0$, вниз — $a<0$.$$a>0\ при\ ветвях\ вверх;\quad a<0\ при\ ветвях\ вниз$$
2. 2
   Коэффициент $c$ — это значение функции при $x=0$, то есть точка пересечения графика с осью $Oy$. Если пересечение выше оси $Ox$, то $c>0$, если ниже — $c<0$.$$f(0)=c$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Графики функций и производных

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

1. 1
   У графика А функция сначала возрастает, затем убывает, поэтому её производная меняет знак с плюса на минус. График производной должен быть прямой с отрицательным наклоном, пересекающей ось $x$ в абсциссе вершины функции.$$f'(x)>0 \text{ до вершины},\quad f'(x)<0 \text{ после вершины}$$
2. 2
   Для графика А подходит график 3 производной.

Ещё 4 шага — в полном решении

Производная линейной функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке $x = 1$.

1. 1
   У линейной функции $y = kx + b$ производная в любой точке равна угловому коэффициенту прямой.$$y'(x) = k$$
2. 2
   По графику А при увеличении $x$ на 2 единицы значение $y$ уменьшается на 5 единиц, поэтому угловой коэффициент равен $-\dfrac{5}{2} = -2{,}5$.$$k_{А} = -\dfrac{5}{2} = -2{,}5$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   Если прямая возрастает слева направо, её угловой коэффициент положителен; если убывает — отрицателен.$$y = kx + b$$
2. 2
   Графики А и Г возрастают. У графика А наклон небольшой, поэтому ему соответствует $k = 0{,}25$, а у графика Г наклон равен $1$.$$А \to 3,\quad Г \to 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Знаки функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.

1. 1
   В точке $A$ график расположен ниже оси $Ox$, поэтому $f(A)<0$. График возрастает, значит $f'(A)>0$. Это характеристика 4.$$A\to 4$$
2. 2
   В точке $B$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому $f(B)>0$. График убывает, значит $f'(B)<0$. Это характеристика 1.$$B\to 1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   В функции $y = kx + b$ угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой.
2. 2
   По графику А определяем положительный умеренный наклон, поэтому ему соответствует $k = 0{,}5$ — номер 3.

Ещё 3 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов парабол

На рисунках изображены графики функций вида $y=ax^2+bx+c$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$.

1. 1
   У параболы $y=ax^2+bx+c$ знак коэффициента $a$ определяют по направлению ветвей: вверх — $a>0$, вниз — $a<0$.
2. 2
   Коэффициент $c$ — это значение функции при $x=0$, то есть ордината точки пересечения графика с осью $Oy$.$$c=y(0)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Исследование функции по графику

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. Числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ задают на оси $Ox$ интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или…

1. 1
   На интервале $(a;b)$ график функции убывает, поэтому значение производной функции отрицательно.$$f'(x)<0$$
2. 2
   На интервале $(b;c)$ график находится ниже оси $Ox$, поэтому значение функции отрицательно.$$f(x)<0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Графики функций и производных

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

1. 1
   График А — парабола с ветвями вверх. Её производная является возрастающей линейной функцией, поэтому графику А соответствует график 4.$$f'(x)=0 \text{ в вершине параболы}$$
2. 2
   График Б также имеет ветви вверх, но вершина расположена правее. Его производная — возрастающая прямая с другим наклоном; это график 1.$$f'(x)<0 \text{ слева от вершины},\quad f'(x)>0 \text{ справа от вершины}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угловые коэффициенты прямых

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

1. 1
   Для функции $y = kx + b$ знак углового коэффициента определяется направлением графика: при движении слева направо возрастающая прямая имеет $k>0$, убывающая — $k<0$.$$y = kx + b$$
2. 2
   Графики А и Б возрастают, поэтому им соответствуют положительные коэффициенты $0{,}75$ и $2{,}5$. График Б круче графика А, значит ему соответствует большее значение $2{,}5$.

Ещё 2 шага — в полном решении

График функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.

1. 1
   В точке $A$ значение функции равно нулю, а график убывает, поэтому производная отрицательна. Точке $A$ соответствует характеристика 3.$$f(A)=0,\quad f'(A)<0$$
2. 2
   В точке $B$ график имеет минимум ниже оси $Ox$. Значение функции отрицательно, а производная в точке экстремума равна нулю. Точке $B$ соответствует характеристика 2.$$f(B)<0,\quad f'(B)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Графики функций и производных

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

1. 1
   У графика А функция сначала убывает, затем возрастает; в точке минимума её производная равна нулю. Поэтому производная — возрастающая прямая, пересекающая ось абсцисс справа от начала координат.$$f'(x)<0\text{ слева от минимума},\quad f'(x)>0\text{ справа}$$
2. 2
   Графику А соответствует график производной 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Характеристики функций на отрезке

Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке $[4; 10]$.

1. 1
   Для каждой функции определяем её поведение на отрезке $[4; 10]$: возрастание, убывание или наличие точки экстремума.
2. 2
   Функции сопоставляются с характеристиками следующим образом: А имеет точку минимума, Б возрастает, В убывает, Г имеет точку максимума.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Графики и свойства функций

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке $[-1;1]$.

1. 1
   График А на всём отрезке $[-1;1]$ расположен ниже оси $x$, поэтому функция принимает отрицательные значения.
2. 2
   График Б убывает при движении слева направо на отрезке $[-1;1]$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов параболы

На рисунках изображены графики функций вида $y=ax^2+bx+c$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$.

1. 1
   Для квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ знак коэффициента $a$ определяют по направлению ветвей параболы: при $a<0$ ветви направлены вниз, при $a>0$ — вверх.$$a<0 \Rightarrow \text{ветви вниз},\quad a>0 \Rightarrow \text{ветви вверх}$$
2. 2
   Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, поэтому его знак определяется расположением точки пересечения графика с осью $Oy$.$$f(0)=c$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Производная по графику

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k_{тангенса}$$
2. 2
   В точке $A$ касательная резко возрастает, поэтому ей соответствует наибольшее положительное значение $4$ — номер 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов линейной функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

1. 1
   В функции $y = kx + b$ знак коэффициента $k$ определяется направлением наклона прямой: возрастающая прямая имеет $k > 0$, убывающая — $k < 0$.$$y = kx + b$$
2. 2
   Знак коэффициента $b$ определяется положением точки пересечения графика с осью $Oy$: выше начала координат — $b > 0$, ниже — $b < 0$.$$b = y(0)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Знаки коэффициентов функции

На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$.

1. 1
   Коэффициент $k$ определяет направление наклона прямой: при $k > 0$ функция возрастает, при $k < 0$ — убывает. Коэффициент $b$ равен ординате точки пересечения графика с осью $y$.$$y = kx + b$$
2. 2
   На графике А прямая убывает и пересекает ось $y$ выше начала координат, поэтому $k < 0$, $b > 0$: это вариант 2.$$А \to 2$$

Ещё 3 шага — в полном решении