Тапсырма 19 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Трёхзначное число с остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 15 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра в записи которого является средним арифметическим крайних его цифр.

1. 1
   Проверим число $123$. Его цифры: $1$, $2$ и $3$. Средняя цифра является средним арифметическим крайних:$$2 = \frac{1+3}{2}$$
2. 2
   При делении числа на $4$ получаем ненулевой остаток $3$:$$123 = 4 \cdot 30 + 3$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число, делящееся на 24

Найдите шестизначное натуральное число, которое делится на 24 и записывается только цифрами 1 и 2. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $24 = 3 \cdot 8$, число должно делиться и на $3$, и на $8.
2. 2
   Рассмотрим число $122112$. Оно записывается только цифрами 1 и 2 и является шестизначным.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число с делимой суммой цифр

Найдите четырёхзначное число $A$, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 8; сумма цифр числа $A+2$ делится на 8; число $A$ больше 1500 и меньше 1700.

1. 1
   Из условия $1500 < A < 1700$, поэтому число начинается с 15 или 16.
2. 2
   Возьмём число $A=1599$. Сумма его цифр равна $1+5+9+9=24$, а число $24$ делится на 8.$$1+5+9+9=24=8\cdot3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим число 414 на простые множители:$$414 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23$$
2. 2
   Так как всего было пять отметок, множители можно представить как четыре числа: три однозначные отметки и двузначное число $23$. Следовательно, набор отметок состоит из двух двоек и трёх троек.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 4626. В ответе запишите какое-нибудь…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5 и после разворота является четырёхзначным, последняя цифра исходного числа равна $5$.
2. 2
   При развороте цифр получаем число $\overline{dcba}$. Проверим число $9705$: его разворот — $5079$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сумма делителей произведения простых чисел

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $154$ представлено как произведение трёх различных простых чисел: $2$, $7$ и $11$.$$154=2\cdot7\cdot11$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(7+1)(11+1)=3\cdot8\cdot12=288$$

Число из цифр 1 и 5

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на 55. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим число $55$ на взаимно простые множители:$$55=5\cdot 11$$
2. 2
   Для делимости на $5$ шестизначное число, состоящее из цифр $1$ и $5$, должно оканчиваться цифрой $5$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$2230=223\cdot 10=223\cdot 2\cdot 5$$
2. 2
   Множитель 223 образуется из трёх отметок 2, 2 и 3, а множитель 10 — из отметок 2 и 5. Поэтому сумма всех пяти отметок равна:$$2+2+3+2+5=14$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Пятизначное число по цифрам

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 3, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим пятизначное число $11313$.
2. 2
   Сумма его цифр равна произведению цифр:$$1+1+3+1+3=9,\qquad 1\cdot1\cdot3\cdot1\cdot3=9$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 75

Найдите четырёхзначное число, кратное 75, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 75, должно делиться на 25. Из возможных окончаний на 25, 50, 75 и 00 условию о нечётности всех цифр удовлетворяет только окончание 75.
2. 2
   Выберем перед окончанием 75 две различные нечётные цифры, например 3 и 9. Получаем число 3975.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Трёхзначное число кратное 70

Найдите трёхзначное число, кратное 70, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 2, но не делится на 4. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Возьмём трёхзначное число $350$ и проверим его кратность 70.$$350 = 70 \cdot 5$$
2. 2
   Все цифры числа различны: $3$, $5$ и $0$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и удвоение

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 0, 3, 5, 8, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 0, 1, 6, 7. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$.

1. 1
   Проверим число, составленное из цифр 0, 3, 5, 8, в соответствии с условием.$$A = 3508$$
2. 2
   Умножим его на 2.$$2A = 2 \cdot 3508 = 7016$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 24715905 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. Запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 30, должно делиться на 10. Поэтому последней цифрой оставшегося числа должна быть цифра 0.
2. 2
   Для делимости на 3 сумма цифр числа должна делиться на 3. Выберем цифры 2, 7, 1, 5 и 0; их сумма равна 15, а 15 делится на 3.$$2+7+1+5+0=15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 12, должно делиться и на 3, и на 4.
2. 2
   Вычеркнем из числа 23462141 цифры 3, 1 и 1. Получим число 24624.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Число, делящееся на цифры

Найдите натуральное число, большее 650, но меньшее 800, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры которого различны и не равны нулю. Запишите любое одно такое число.

1. 1
   Подберём число в диапазоне от 651 до 799 с различными ненулевыми цифрами. Подходит число $735$.
2. 2
   Проверим делимость на каждую цифру числа:$$735 : 7 = 105,\quad 735 : 3 = 245,\quad 735 : 5 = 147$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Убывающие цифры числа

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 4000, но меньшее 6500, которое делится на 45 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число делится на $45 = 5 \cdot 9$, оно должно делиться на 5 и на 9.
2. 2
   Для делимости на 5 последняя цифра должна быть $0$ или $5$. При строгом убывании цифр удобно выбрать последнюю цифру $0$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сумма делителей числа

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $138$ представлено в виде произведения различных простых чисел: $138=2\cdot3\cdot23$.$$p_1=2,\quad p_2=3,\quad p_3=23$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(3+1)(23+1)=3\cdot4\cdot24$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и куб

Найдите четырёхзначное число, которое в 6 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Обозначим искомое четырёхзначное число через $x$, а натуральное число — через $n$. По условию $x$ в 6 раз меньше куба числа $n$:$$x = \dfrac{n^3}{6}$$
2. 2
   Выберем натуральное число $n = 24$. Его куб равен:$$24^3 = 13824$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четвёртая степень числа

Найдите четырёхзначное число, которое в 9 раз меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Пусть искомое число равно $x$, а натуральное число — $n$. По условию $x$ в 9 раз меньше четвёртой степени числа $n$:$$x=\dfrac{n^4}{9}$$
2. 2
   Возьмём $n=12$. Тогда четвёртая степень равна:$$12^4=20736$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Трёхзначное число кратное 11

Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $154$. Его цифры $1$, $5$ и $4$ различны, поэтому условие о различных цифрах выполнено.
2. 2
   Проверим кратность 11:$$154 = 11 \cdot 14$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде