В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 26$, $\cos A = \dfrac{12}{13}$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 26 \cdot \dfrac{12}{13} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $14$. Найдите периметр этого ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Значит, сумма двух равных углов равна $120^\circ$, и каждый из них равен $60^\circ$.$$120^\circ : 2 = 60^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба, расположенная напротив угла $60^\circ$, равна стороне ромба: диагональ образует равносторонний треугольник со сторонами ромба.$$a = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $115°$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку стороны угла являются касательными к окружности.$$\angle OAC = \angle OBC = 90°$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $ACOB$. Сумма его углов равна $360°$.$$\angle AOB = 360° - 90° - 90° - 115°$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 31$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 3$, $BC = CD = 5$ см. Найдите среднюю линию трапеции.
- 1
Опустим из точки $C$ перпендикуляр к основанию $AD$. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $CD = 5$ и высотой $AB = 3$.$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$$
- 2
Горизонтальная проекция боковой стороны равна разности оснований, поэтому найдём большее основание.$$AD = BC + x = 5 + 4 = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 28. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{7}{24}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой. Запишем тангенс угла $A$:$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$\dfrac{7}{24}=\dfrac{28}{AC},\quad AC=\dfrac{28\cdot24}{7}=96$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона ромба равна 17, одна из его диагоналей равна 16. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина известной диагонали ромба равна:$$\frac{16}{2}=8$$
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора находим половину второй диагонали:$$x=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 600, сторона $BC = 40$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Найдём длину стороны $AD$ по формуле площади прямоугольника:$$AD = \dfrac{600}{40} = 15$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий катет для угла $CAD$ — это $CD = 40$, а прилежащий катет — $AD = 15$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{40}{15} = \dfrac{8}{3}$$
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 39^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 13. Найдите длину большей дуги.
- 1
Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен разности полного угла и угла меньшей дуги.$$360^\circ - 39^\circ = 321^\circ$$
- 2
Длины дуг одной окружности пропорциональны соответствующим центральным углам.$$\frac{x}{13} = \frac{321}{39}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 24$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому центральный угол $AOC$ дополняет угол $COB$ до $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды выражается через радиус и центральный угол.$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите высоту $CH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике найдём синус угла $A$:$$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = 0{,}8$$
- 2
Найдём гипотенузу $AB$:$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{10}{0{,}8} = 12{,}5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 21, $\tg \angle CAD = 0{,}35$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
- 2
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 21$. Найдём сторону $AD$.$$0{,}35 = \dfrac{21}{AD},\quad AD = \dfrac{21}{0{,}35} = 60$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 54^\circ$ и $\angle BDC = 23^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$, трапеция $ABCD$ равнобедренная. Угол при вершине $D$ равен сумме данных углов:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 54^\circ + 23^\circ = 77^\circ$$
- 2
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны, поэтому:$$\angle BAD = \angle ADC = 77^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 16$, боковая сторона $BC = 34$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK = 16,\quad BC = 34$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{900} = 30$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 24$, площадь ромба равна 144. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Найдём длину второй диагонали ромба по формуле площади:$$144 = \dfrac{24 \cdot BD}{2}$$
- 2
Отсюда длина диагонали $BD$ равна:$$BD = \dfrac{2 \cdot 144}{24} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 17$. Найдите $BC$.
- 1
Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Используем определение синуса.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 54^\circ$, $\angle D = 92^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник $ABCD$ является дельтоидом. Диагональ $BD$ — его ось симметрии, поэтому она делит углы $B$ и $D$ пополам.$$AB = BC,\ AD = CD \Rightarrow \angle ABD = \frac{\angle B}{2},\ \angle ADB = \frac{\angle D}{2}$$
- 2
Найдём углы треугольника $ABD$ при вершинах $B$ и $D$.$$\angle ABD = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ,\quad \angle ADB = \frac{92^\circ}{2} = 46^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 25$, $AC = 48$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Половина диагонали $AC$ равна $24$.$$\frac{AC}{2}=\frac{48}{2}=24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 2^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $4$. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшая дуга соответствует центральному углу $2^\circ$, поэтому длина всей окружности пропорциональна отношению $360^\circ : 2^\circ$.$$L = 4 \cdot \frac{360}{2} = 720$$
- 2
Большая дуга дополняет меньшую до полной длины окружности.$$L_{\text{большей}} = 720 - 4 = 716$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна $32$. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{8}{15}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A=\frac{BC}{AC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$.$$\frac{8}{15}=\frac{32}{AC},\quad AC=\frac{32\cdot15}{8}=60$$
Ещё 1 шаг — в полном решении