В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 100$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой основания $AC$:$$AM = MC = \frac{AC}{2} = 50$$
- 2
Обозначим $AH = x$. Тогда $HM = x - 50$, а $HC = 100 - x$. В прямоугольных треугольниках $BHM$ и $BHC$ по теореме Пифагора:$$BM^2 = BH^2 + (x - 50)^2, \quad BC^2 = BH^2 + (100 - x)^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 47$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Поэтому все его стороны равны.
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle A = \angle C$. Из условия получаем:$$\angle A + \angle C = 120^\circ,\quad 2\angle A = 120^\circ,\quad \angle A = 60^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 72 и 30. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $36$ и $15$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Катет прямоугольного треугольника равен 8, одна из средних линий равна 3. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому второй катет равен$$b = 2 \cdot 3 = 6$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 74 см, а высота экрана — 24 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
- 1
Ширина, высота и диагональ экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$w^2+24^2=74^2$$
- 2
Выразим ширину экрана и вычислим её значение:$$w=\sqrt{74^2-24^2}=\sqrt{5476-576}=\sqrt{4900}=70$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $48$, сторона $BC = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Из формулы площади прямоугольника найдём его высоту:$$AB = \dfrac{S}{BC} = \dfrac{48}{8} = 6$$
- 2
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = 6$, а $AD = BC = 8$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 8$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 15. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому является средней линией треугольника и равен половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 15 = 30$$
- 2
Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.$$AK = \dfrac{AC}{2} = 15$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 22 и 120. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, — это ромб.
- 2
Диагонали ромба делятся пополам, поэтому их половины равны 11 и 60. Половины диагоналей перпендикулярны и образуют со стороной ромба прямоугольный треугольник.$$a=\sqrt{11^2+60^2}=\sqrt{3721}=61$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 7$, а её площадь равна 45. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Обозначим высоту трапеции через $h$. По формуле площади трапеции:$$45=\dfrac{(8+7)h}{2}$$
- 2
Найдём высоту трапеции:$$h=\dfrac{2\cdot45}{15}=6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 30$, $\sin A = 0{,}8$. Найдите длину стороны $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 30 \cdot 0{,}8 = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $43$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании и внешний угол образуют развернутый угол, поэтому угол $C$ равен:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, а сторона $BC$ — его гипотенуза.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 69, боковая сторона равна 50. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $69-41=28$. В равнобедренной трапеции выступ с каждой стороны равен половине этой разности:$$x=\dfrac{69-41}{2}=14$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции:$$h=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2304}=48$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 20$, $\tg A = \dfrac{9}{4}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Обозначим основание высоты через $H$.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 10$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ и выразим высоту через тангенс угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BH}{AH},\quad BH = 10 \cdot \dfrac{9}{4} = 22{,}5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 9$, боковая сторона $BC = 15$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK \perp AC$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 72 и 54. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны 36 и 27.$$d_1/2 = 72/2 = 36,\quad d_2/2 = 54/2 = 27$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{17}$, $BC = 1$. Найдите $\tg A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC^2 = (\sqrt{17})^2 - 1^2 = 16,\quad AC = 4$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 33$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ — противолежащий углу $A$, а $AB$ — гипотенуза.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
- 1
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.$$c=\sqrt{16^2+30^2}=\sqrt{256+900}=\sqrt{1156}=34$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны. Поэтому возможные средние линии имеют длины:$$\frac{16}{2}=8,\quad \frac{30}{2}=15,\quad \frac{34}{2}=17$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 12$, $AC = 32$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$$
- 2
Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 60, площадь треугольника равна 480. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Выразим высоту треугольника из формулы площади:$$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot h$$
- 2
Подставим известные значения и найдём высоту:$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 480}{60} = 16$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде