12
Решение: Длина отрезка AH
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИE049BAКороткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 100$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой основания $AC$:
$$AM = MC = \frac{AC}{2} = 50$$2
Обозначим $AH = x$. Тогда $HM = x - 50$, а $HC = 100 - x$. В прямоугольных треугольниках $BHM$ и $BHC$ по теореме Пифагора:
$$BM^2 = BH^2 + (x - 50)^2, \quad BC^2 = BH^2 + (100 - x)^2$$3
Так как $BM = BC$, приравняем выражения и сократим $BH^2$:
$$(x - 50)^2 = (100 - x)^2$$Решая уравнение, получаем:
$$x - 50 = 100 - x, \quad 2x = 150, \quad x = 75$$Ответ
75
75
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что медиана делит сторону $AC$ пополам.
Сравнивают отрезки $HM$ и $HC$ без применения теоремы Пифагора.
Ошибочно принимают $AH$ за половину стороны $AC$.