В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 48, площадь треугольника равна 168. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Выразим высоту треугольника через его площадь и основание.$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 168}{48} = 7$$
- 2
Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам.$$AD = DC = \dfrac{48}{2} = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{5}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, соответствующий данной дуге, составляет такую же долю полного угла:$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{5}{36} = 50^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального:$$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 32$, $\tg A = \frac{5}{4}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $AH = HC = 16$.$$AH = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ и найдём высоту по тангенсу угла $A$.$$\tg A = \frac{BH}{AH} = \frac{5}{4},\quad BH = 16 \cdot \frac{5}{4} = 20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Обе диагонали параллелограмма равны 41. Одна из сторон параллелограмма равна 40. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
- 2
По теореме Пифагора для прямоугольника найдём вторую сторону:$$b=\sqrt{41^2-40^2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $6$, а $\tg A = 1{,}2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём половину основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{6}{1{,}2}=5$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $121^\circ$, угол $ABC$ равен $101^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Пусть $\angle CAL=\angle BAL=x$, так как $AL$ — биссектриса угла $A$, а $\angle ACB=y$.$$\angle A=2x,\quad \angle C=y$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ALC$.$$x+y+121^\circ=180^\circ,\quad x+y=59$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 490, сторона $BC = 35$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $BC = AD = 35$, найдём длину стороны $AB = CD$:$$AB = CD = \dfrac{490}{35} = 14$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{14}{35} = 0{,}4$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\circ$, угол $CAD$ равен $60^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По свойству вписанного угла дуга, на которую опирается угол $ABC$, вдвое больше этого угла:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot92^\circ=184^\circ$$
- 2
Аналогично найдём дугу $CD$:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot60^\circ=120^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $14$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Поэтому сумма двух углов, равная $240^\circ$, означает, что каждый из них равен $120^\circ$. Другие два угла равны $60^\circ$.$$2\alpha=240^\circ,\quad \alpha=120^\circ,\quad 180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. Она делит ромб на прямоугольные треугольники, где половина диагонали равна $a\sin 30^\circ$.$$\frac{d}{2}=a\sin 30^\circ=\frac{a}{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 40$, площадь ромба равна $240$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Найдём вторую диагональ ромба по формуле площади:$$S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём $BD$:$$BD=\dfrac{2S}{AC}=\dfrac{2\cdot240}{40}=12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 12$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.
- 1
Так как $BK$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABK = \angle KBC = 60^\circ$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, является также высотой, поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 51$, $\cos A = \dfrac{15}{17}$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, прилежащим к углу $A$.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 51 \cdot \dfrac{15}{17} = 45$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $15$, а $\tg A = \dfrac{15}{8}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
- 2
По определению тангенса угла $A$ найдём катет $AM$:$$\tg A = \frac{BM}{AM},\quad \frac{15}{8} = \frac{15}{AM},\quad AM = 8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $AOB$ равен $36^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $6$. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшая дуга соответствует центральному углу $36^\circ$, а вся окружность — углу $360^\circ$.$$L=6\cdot\frac{360^\circ}{36^\circ}=60$$
- 2
Большая дуга дополняет меньшую до длины всей окружности.$$L_{\text{большей}}=60-6=54$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 4$, $AC = \sqrt{7}$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \sqrt{9} = 3$$
- 2
Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 21. Гипотенуза равна 29. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет.$$x^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$$
- 2
Получаем длину второго катета.$$x = 20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания трапеции равны 5 и 13, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны. Поэтому$$h = 10\sin 150^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$
- 2
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:$$S = \frac{5+13}{2}\cdot 5 = 45$$
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 88$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 44$$
- 2
Обозначим $AH = x$. Тогда $HM = AM - AH = 44 - x$, а $HC = AC - AH = 88 - x$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{21}{29}$. Гипотенуза $AB = 58$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катет $BC$ является прилежащим к углу $B$. По определению косинуса:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 58 \cdot \frac{21}{29} = 42$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $HEJ$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Центральный угол правильного десятиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
- 2
Угол $HEJ$ — вписанный. Он опирается на дугу $HJ$, не содержащую вершину $E$. Эта дуга состоит из двух сторон десятиугольника, поэтому её градусная мера равна:$$2\cdot36^\circ=72^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде