Периметр ромба равен 60, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
Все стороны ромба равны, поэтому найдём длину его стороны по периметру:$$a = \dfrac{60}{4} = 15$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла:$$S = a^2\sin 30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
Высота, проведённая из конца меньшего основания, перпендикулярна большему основанию и делит его на отрезки длиной 2 и 6. Следовательно, большее основание равно:$$2+6=8$$
- 2
В равнобедренной трапеции отрезки большего основания, выступающие за пределы меньшего основания, равны. Один из них имеет длину 2, значит сумма двух таких отрезков равна:$$2\cdot2=4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 26$, $BD = 30$, $AB = 7$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим длину диагонали $BD$ и вычислим длину её половины.$$DO = \dfrac{30}{2} = 15$$
Один из углов равнобедренной трапеции равен $131^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы равнобедренной трапеции, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме составляют $180^\circ$, так как основания трапеции параллельны.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Если один угол равен $131^\circ$, то меньший угол равен разности между $180^\circ$ и данным углом.$$\beta = 180^\circ - 131^\circ = 49^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 8.
- 1
Так как трапеция равнобедренная, меньшее основание расположено симметрично относительно большего. Боковое смещение с каждой стороны равно$$x=\dfrac{8-4}{2}=2$$
- 2
Горизонтальная проекция диагонали от левой вершины большего основания до правой вершины меньшего основания равна$$8-2=6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона ромба равна 28, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба образует с его стороной прямоугольный треугольник. Высота равна произведению стороны на синус острого угла ромба.$$h = a\sin 30^\circ$$
- 2
Подставим значение стороны ромба и вычислим.$$h = 28\cdot\frac{1}{2}=14$$
Сторона ромба равна 46, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба равна произведению его стороны на синус угла между стороной и основанием.$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим значения стороны и угла:$$h = 46\sin150^\circ = 46\sin30^\circ = 46\cdot\frac{1}{2}=23$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
При проведении высоты из конца меньшего основания образуются два прямоугольных треугольника. Так как трапеция равнобедренная, их горизонтальные проекции равны.
- 2
Больший из двух отрезков на основании состоит из меньшего отрезка и меньшего основания трапеции. Поэтому длина меньшего основания равна разности отрезков:$$8 - 4 = 4$$
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $36^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Диагонали ромба делят его углы пополам. Поэтому диагональ, проходящая через вершину острого угла, образует с каждой прилегающей стороной половину этого угла.
- 2
Из условия и перпендикулярности отрезка к стороне следует, что угол между этой диагональю и стороной при острой вершине равен $36^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов ромба равен $114°$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы ромба являются внутренними односторонними углами при параллельных сторонах, поэтому их сумма равна $180°$.$$114° + \alpha = 180°$$
- 2
Находим меньший угол ромба:$$\alpha = 180° - 114° = 66°$$
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $46^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции два угла при каждом основании равны. Значит, углы, сумма которых равна $46^\circ$, равны:$$\alpha = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$$
- 2
Смежные углы трапеции supplementary, поэтому больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ$$
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 20$, $BD = 26$, $AB = 8$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{26}{2} = 13$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $9$.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на обе боковые стороны.$$\dfrac{9-3}{2}=3$$
- 2
Горизонтальная проекция диагонали состоит из меньшего основания и полученного отрезка.$$l=3+3=6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов ромба равен $76^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы supplementary и в сумме составляют $180^\circ$.$$180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$
- 2
Угол $104^\circ$ больше угла $76^\circ$, поэтому он является большим углом ромба.
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 24$, $BD = 28$, $AB = 6$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{28}{2} = 14$$
Основания трапеции равны 7 и 19, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{(7+19)\cdot 6}{2} = \dfrac{26\cdot 6}{2} = 78$$
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $29^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Диагональ ромба делит его угол пополам. Перпендикуляр к стороне образует с другой диагональю угол, равный половине острого угла ромба.$$\frac{\alpha}{2} = 29^\circ$$
- 2
Умножаем равенство на два и находим острый угол ромба.$$\alpha = 2 \cdot 29^\circ = 58^\circ$$
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 22$, $BD = 24$, $AB = 3$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{24}{2} = 12$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания, образует у большего основания отрезок, равный разности оснований, делённой на 2. Поэтому меньшая часть большего основания равна боковому смещению, а разность двух…$$b = 8 - 3$$
- 2
Находим длину меньшего основания.$$b = 5$$
Сторона квадрата равна $6\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны квадрата:$$d = 6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 6\cdot 2 = 12$$