Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 3 и 5, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Используем формулу площади трапеции:$$S = \dfrac{a+b}{2}h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{3+5}{2} \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36$$

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 12$, $AB = 18$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Найдём диагональ $BD$.$$BD = 2 \cdot 12 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высоты параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

1. 1
   Высоту, проведённую к стороне длины 8, найдём по формуле площади параллелограмма.$$h_1 = \dfrac{S}{a_1} = \dfrac{48}{8} = 6$$
2. 2
   Высоту, проведённую к стороне длины 16, найдём аналогично.$$h_2 = \dfrac{S}{a_2} = \dfrac{48}{16} = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 13 и 23, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{13+23}{2} \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $69^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $67^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Так как основания трапеции параллельны, соседние внутренние углы при боковой стороне $CD$ supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $C$ на угол между диагональю и стороной $CD$, равный $67^\circ$, и искомый угол между диагональю и меньшим основанием $BC$.$$\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 111^\circ - 67^\circ = 44^\circ$$

Отношение отрезков треугольника

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $BM$ короче отрезка $CM$?

1. 1
   По рисунку отрезки $BM$ и $MC$ лежат на одной прямой и направлены вдоль одного и того же шага по клетчатой бумаге.
2. 2
   При подсчёте одинаковых частей видно, что отрезок $CM$ вдвое длиннее отрезка $BM$.$$\dfrac{CM}{BM}=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку длина основания параллелограмма равна $6$ клеткам, а его высота — $6$ клеткам.$$a = 6,\quad h = 6$$
2. 2
   Вычислим площадь параллелограмма.$$S = ah = 6 \cdot 6 = 36$$

Отношение отрезков на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $AM$ длиннее отрезка $CM$?

1. 1
   По клеткам видно, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении, определяемом горизонтальными проекциями: от $A$ до $M$ — 3 единицы, от $M$ до $C$ — 2 единицы.$$AM:CM=3:2$$
2. 2
   Следовательно, отрезок $AM$ длиннее отрезка $CM$ в следующую величину:$$\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$$

Отношение отрезков на сетке

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $AM$ длиннее отрезка $CM$?

1. 1
   По клетчатой сетке определяем длины отрезков $AM$ и $CM$.
2. 2
   Сравниваем полученные длины: отрезок $AM$ в четыре раза длиннее отрезка $CM$.$$\dfrac{AM}{CM}=4$$

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По рисунку длины оснований трапеции равны $4$ и $8$ клеткам, а высота равна $7$ клеткам.$$a = 4,\quad b = 8,\quad h = 7$$
2. 2
   Вычислим площадь трапеции по формуле.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2} = \dfrac{(4+8) \cdot 7}{2} = 42$$

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По рисунку длина стороны $AC$ равна шести клеткам, то есть $AC = 6$.$$AC = 6$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу точки $A$ и $B$ лежат на одной вертикальной линии.
2. 2
   Расстояние между ними составляет две клетки. Размер одной клетки равен $1$.$$AB = 2 \cdot 1 = 2$$

Площадь ромба по диагоналям

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   По рисунку длина первой диагонали ромба равна $12$ клеткам, а второй — $6$ клеткам.$$d_1 = 12,\quad d_2 = 6$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба через его диагонали.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{12 \cdot 6}{2} = 36$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По клеткам определяем длину основания треугольника: $a = 7$.
2. 2
   Высота треугольника равна $h = 4$ клетки.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между населёнными пунктами

Используя план из общего материала, найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

1. 1
   По плану расстояние между Масловкой и Захарово по горизонтали составляет 20 км, а по вертикали — 21 км. Прямая лесная дорожка является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$a=20,\quad b=21$$
2. 2
   Применяем теорему Пифагора и вычисляем длину гипотенузы.$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$$

Отношение отрезков на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Во сколько раз отрезок $BM$ длиннее отрезка $CM$?

1. 1
   По клетчатой бумаге определяем длины отрезков $BM$ и $CM$ с помощью теоремы Пифагора.$$BM = 2CM$$
2. 2
   Находим, во сколько раз отрезок $BM$ длиннее отрезка $CM$.$$\dfrac{BM}{CM}=2$$

Больший катет треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   Катеты прямоугольного треугольника изображены вертикальным и горизонтальным отрезками.
2. 2
   Считаем клетки вдоль горизонтального катета: между его концами 9 единичных отрезков.

Площади двух кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клетчатой бумаге видно, что диаметр большего круга в 2 раза больше диаметра меньшего. Значит, радиус большего круга также в 2 раза больше.$$r_\text{б} = 2r_\text{м}$$
2. 2
   Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому отношение площадей равно квадрату отношения радиусов.$$\frac{S_\text{б}}{S_\text{м}} = \left(\frac{r_\text{б}}{r_\text{м}}\right)^2 = 2^2 = 4$$

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

1. 1
   По чертежу точки $A$ и $B$ находятся на одной вертикальной линии клетчатой бумаги.
2. 2
   Расстояние между соседними горизонтальными линиями равно одной единице. Между точками $A$ и $B$ насчитывается 3 клетки.$$AB = 3 \cdot 1 = 3$$

Больший катет треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. 1
   Катеты прямоугольного треугольника расположены вдоль горизонтального и вертикального направлений клетчатой бумаги.
2. 2
   Считаем клетки вдоль большего катета: между его концами 9 единичных отрезков.$$a = 9 \cdot 1 = 9$$