Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Биссектриса равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой.$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника.$$h=\dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{30}{2}=15$$

Средняя линия треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна 24, сторона $BC$ равна 13, сторона $AC$ равна 26. Найдите $MN$.

1. 1
   Отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника, поэтому является его средней линией.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   По свойству средней линии треугольника её длина равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$$

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $AC = 7$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$.
2. 2
   Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   Высота равностороннего треугольника связана со стороной формулой:$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим известное значение высоты:$$11\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 148^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из равенства сторон $AB = BC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Используем сумму углов треугольника:$$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 16$, $AB = 25$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащим катетом является сторона $BC$.
2. 2
   Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Другой катет треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 15 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   Обозначим второй катет через $x$ и применим теорему Пифагора.$$x^2 + 9^2 = 15^2$$
2. 2
   Выразим квадрат второго катета.$$x^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 26$, $AB = 40$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$.
2. 2
   Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, $BC = 9$, $AB = 20$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — сторона $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставляем известные значения:$$\cos B = \dfrac{9}{20} = 0{,}45$$

Синус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 24$, $AB = 25$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащей стороной является $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения длин сторон.$$\sin B = \dfrac{24}{25} = 0{,}96$$

Тангенс угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$, $AC = 28$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$\tg B = \dfrac{28}{4} = 7$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{5}{12}$, $AB = 60$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — это $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $BC$.$$BC = AB \cdot \cos B = 60 \cdot \dfrac{5}{12} = 25$$

Угол в прямоугольном треугольнике

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 19^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BH$ — высота треугольника $ABC$, то $BH \perp AC$. Следовательно, треугольник $ABH$ прямоугольный, а $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Поскольку луч $AH$ лежит на стороне $AC$, угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 19^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 8$, $AB = 40$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные длины сторон и вычислим значение синуса.$$\sin B = \dfrac{8}{40} = 0{,}2$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{4}{7}$, $AB = 21$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$AB = 21$$
2. 2
   Используем определение косинуса острого угла:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 7$, $AB = 20$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\cos B = \dfrac{7}{20} = 0{,}35$$

Синус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{4}{15}$, $AB = 45$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = AB \cdot \sin B = 45 \cdot \dfrac{4}{15} = 12$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{13}{16}$, $AB = 96$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Выразим длину катета $BC$ и подставим известные значения.$$BC = AB \cdot \cos B = 96 \cdot \dfrac{13}{16} = 78$$

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{5}{17}$, $AB = 51$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а сторона $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$AB = 51$$
2. 2
   По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по двум сторонам

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 6$, $BC = 10$, $\sin \angle ABC = \dfrac{1}{3}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{3} = 10$$