Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Угол равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $55^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Соседние углы при боковой стороне в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Если один угол равен $55^\circ$, то больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $30^\circ$ и $80^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны. Обозначим каждый из них через $x$.
2. 2
   Рассмотрим треугольник, образованный диагональю, боковой стороной и большим основанием. Угол при большем основании этого треугольника равен $x - 30^\circ$, второй известный угол равен $80^\circ$.$$(x - 30^\circ) + 80^\circ + x = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями прямоугольника

Диагональ прямоугольника образует угол $61^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагонали прямоугольника симметричны относительно его основания, поэтому угол между ними, расположенный внутри верхней части прямоугольника, равен разности развернутого угла и двух углов по $61^\circ$.$$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 61^\circ$$
2. 2
   Вычисляем значение острого угла между диагоналями.$$\alpha = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $122^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Смежный с углом $122^\circ$ угол ромба является острым:$$180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба делит острый угол пополам, поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\dfrac{58^\circ}{2} = 29^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $61^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $23^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому $\angle A = \angle D = 61^\circ$.$$\angle A = 61^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $23^\circ$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = 61^\circ - 23^\circ = 38^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по углу

Периметр ромба равен 88, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна четверти периметра:$$a=\frac{88}{4}=22$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S=a^2\sin\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $128^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим меньший угол:$$\beta = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$$

Меньший угол ромба

Один из углов ромба равен $93^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы в сумме составляют $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим меньший угол ромба:$$\beta = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$$

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $3\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата со стороной $a$ равна:$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны:$$d=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=3\cdot2=6$$

Половина диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 16$, $BD = 20$, $AB = 5$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \frac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \frac{20}{2} = 10$$

Высота параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

1. 1
   Высоту параллелограмма найдём по формуле площади:$$h = \dfrac{S}{a}$$
2. 2
   Для стороны длиной 8 высота равна:$$h_1 = \dfrac{32}{8} = 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $7$.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания. Из-за равнобедренности трапеции боковые части большего основания равны.$$x=\dfrac{7-3}{2}=2$$
2. 2
   Горизонтальная проекция диагонали от левого конца большего основания до правого конца меньшего основания равна сумме левой боковой части и меньшего основания.$$d_x=2+3=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по периметру

Периметр ромба равен 20, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   Найдём длину стороны ромба. Все его стороны равны, поэтому сторона равна четверти периметра.$$a = \dfrac{20}{4} = 5$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.$$S = a^2\sin\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол параллелограмма по диагонали

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $35^\circ$ и $30^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $AC$ делит угол $A$ на два угла величиной $35^\circ$ и $30^\circ$.$$\angle A = 35^\circ + 30^\circ = 65^\circ$$
2. 2
   Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен разности между $180^\circ$ и углом $A$.$$\angle B = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$

Отрезки средней линии трапеции

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

1. 1
   Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, равных половинам оснований.$$l_1=\dfrac{10}{2}=5,\quad l_2=\dfrac{11}{2}=5{,}5$$
2. 2
   Выбираем больший из полученных отрезков.$$\max(5;5{,}5)=5{,}5$$

Острый угол ромба

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $35^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
2. 2
   Перпендикуляр к стороне образует с одной из диагоналей угол $35^\circ$. Следовательно, угол между этой диагональю и стороной равен $35^\circ$, поскольку эти углы являются углами между взаимно перпендикулярными прямыми.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $23^\circ$ и $75^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   Диагональ образует с боковыми сторонами треугольник, в котором два угла равны $23^\circ$ и $75^\circ$.$$23^\circ+75^\circ+\angle D=180^\circ$$
2. 2
   Находим угол при верхнем основании трапеции:$$\angle D=180^\circ-23^\circ-75^\circ=82^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. Укажите большую высоту.

1. 1
   Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = a h$$
2. 2
   Высота, соответствующая стороне длиной 5, равна:$$h_1 = \dfrac{40}{5} = 8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Больший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $74^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы параллелограмма являются supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 74^\circ$$
2. 2
   Вычислим величину большего угла.$$180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $40^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Найдём тупой угол ромба как угол, смежный с острым:$$180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба делит тупые углы пополам, поэтому угол между стороной и этой диагональю равен:$$140^\circ : 2 = 70^\circ$$