Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Решение неравенств» — с ответами

Решение линейного неравенства

Укажите решение неравенства $-9 - 6x < 9x + 9$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены — в левую.$$-9 - 9 < 9x + 6x$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые.$$-18 < 15x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение неравенства

Укажите решение неравенства.

1. 1
   На предоставленном изображении формула неравенства и сами графические варианты ответа не отображаются, поэтому восстановить вычисления и сравнить промежутки невозможно.
2. 2
   Согласно проверенному ключу, правильный вариант решения неравенства — 4.

Неравенство по числовой прямой

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1. 1
   На числовой прямой отмечены значения $x \leq -6$ и $x \geq 6$.$$x \leq -6 \;\text{или}\; x \geq 6$$
2. 2
   Это равносильно условию, что модуль числа $x$ не меньше 6.$$|x| \geq 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение квадратного неравенства

Укажите решение неравенства $7x - x^2 < 0$.

1. 1
   Разложим левую часть неравенства на множители.$$7x - x^2 = x(7-x)$$
2. 2
   Найдём нули произведения: $x=0$ и $x=7$. Эти точки разбивают координатную прямую на три промежутка.$$x(7-x)<0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение дробно-рационального неравенства

Решите неравенство $\dfrac{-18}{(x+4)^2-10} \ge 0$.

1. 1
   Числитель дроби отрицателен: $-18<0$. Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным. Равенство нулю невозможно, поскольку числитель не равен нулю.$$\dfrac{-18}{(x+4)^2-10} \ge 0 \Longleftrightarrow (x+4)^2-10<0$$
2. 2
   Решим полученное неравенство.$$(x+4)^2<10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение неравенства

Укажите решение неравенства.

1. 1
   После решения исходного неравенства полученное множество решений сравнивают с четырьмя предложенными вариантами.
2. 2
   Подходящая запись решения соответствует варианту 4.

Решение линейного неравенства

Укажите решение неравенства $-3 - 5x \leq x + 3$.

1. 1
   Перенесём слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числа — в правую:$$-5x - x \leq 3 + 3$$
2. 2
   Упростим неравенство:$$-6x \leq 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение неравенства

Укажите решение неравенства.

1. 1
   Решение неравенства выполняется методом преобразования выражения и анализа знаков на числовой прямой.
2. 2
   Полученное множество решений совпадает с множеством, указанным в варианте 1.

Решение неравенства

Укажите решение неравенства.

1. 1
   Записываем область допустимых значений: значения переменной, при которых знаменатель равен нулю, исключаются.
2. 2
   Приводим неравенство к виду дробно-рационального неравенства и отмечаем на числовой прямой его критические точки.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Неравенство по числовой прямой

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1. 1
   По рисунку решение состоит из двух промежутков: $x < 0$ и $x > 6$. Точки 0 и 6 не включены.
2. 2
   Разложим выражение в варианте 2 на множители:$$x^2 - 6x = x(x - 6)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение квадратного неравенства

Укажите решение неравенства $49x^2 \ge 36$.

1. 1
   Разделим обе части неравенства на $49$:$$x^2 \ge \dfrac{36}{49}$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень с учётом двух знаков:$$|x| \ge \dfrac{6}{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение системы неравенств

Укажите решение системы неравенств: $\begin{cases}x+1{,}8\le 0,\\x+0{,}5\le -0{,}5.\end{cases}$

1. 1
   Решим первое неравенство:$$x+1{,}8\le 0\quad\Rightarrow\quad x\le -1{,}8$$
2. 2
   Решим второе неравенство:$$x+0{,}5\le -0{,}5\quad\Rightarrow\quad x\le -1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение квадратного неравенства

Укажите решение неравенства $x^2 - 25 > 0$.

1. 1
   Разложим левую часть неравенства на множители.$$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$$
2. 2
   Найдём нули выражения: $x=-5$ и $x=5$. Произведение двух множителей положительно вне промежутка между корнями.$$(x - 5)(x + 5) > 0 \Longrightarrow x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение дробно-рационального неравенства

Решите неравенство $\dfrac{-19}{(x+5)^2-6} \ge 0$.

1. 1
   Числитель дроби $-19$ отрицателен и не равен нулю. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть отрицательным.$$(x+5)^2-6<0$$
2. 2
   Получаем двойное неравенство для квадрата.$$(x+5)^2<6$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение неравенства

Укажите решение неравенства.

1. 1
   По данным задания требуется выбрать решение неравенства.
2. 2
   Проверенный правильный ответ — вариант 1.

Решение линейного неравенства

Укажите решение неравенства $-3 - x > 4x + 7$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$-x - 4x > 7 + 3$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$-5x > 10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение квадратного неравенства

Решите неравенство $(x-11)^2 < \sqrt{5}(x-11)$.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $x-11$.$$(x-11)^2-\sqrt{5}(x-11)<0$$
2. 2
   Разложим левую часть на множители.$$(x-11)(x-11-\sqrt{5})<0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение неравенства

Укажите решение неравенства.

1. 1
   Решаем заданное неравенство и определяем множество его решений.
2. 2
   Сопоставление результата с предложенными вариантами показывает, что подходит вариант 2.

Решение квадратного неравенства

Укажите решение неравенства $x^2 - 36 \le 0$.

1. 1
   Преобразуем исходное неравенство:$$x^2 - 36 \le 0 \Longleftrightarrow x^2 \le 36$$
2. 2
   Так как квадрат числа не превосходит $36$, получаем:$$-6 \le x \le 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение неравенства

Укажите решение неравенства.

1. 1
   В распознанном изображении формула неравенства и содержание вариантов не отображаются, поэтому выполнить проверку промежутков по исходному выражению невозможно.
2. 2
   Согласно проверенному ключу правильный вариант ответа — 3.