Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{16 - 4x} = 6$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$16 - 4x = 36$$
2. 2
   Решим получившееся линейное уравнение:$$-4x = 20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 16$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:$$x = \pm\sqrt{16}$$
2. 2
   Уравнение имеет два корня: $-4$ и $4$. Больший из них равен $4$.$$x_1=-4,\quad x_2=4$$

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $3 - 3(5 - 2x) = 8x - 2$.

1. 1
   Раскроем скобки:$$3 - 3(5 - 2x) = 8x - 2 \Rightarrow 3 - 15 + 6x = 8x - 2$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$6x - 12 = 8x - 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{9x-9}=3$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$9x-9=3^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$9x-9=9 \Rightarrow 9x=18 \Rightarrow x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 4$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения с учётом двух знаков:$$x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$$
2. 2
   Уравнение имеет два корня: $-2$ и $2$. Выбираем меньший корень.$$x_{\min} = -2$$

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{-5-x}=25$.

1. 1
   Представим левую часть и число $25$ как степени числа $5$:$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-5-x}=5^{5+x},\quad 25=5^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$5+x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+5} : \left(\frac{1}{2}\right)^{-6x+7} = \frac{1}{16}$.

1. 1
   Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+5} : \left(\frac{1}{2}\right)^{-6x+7}=\left(\frac{1}{2}\right)^{(-2x+5)-(-6x+7)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-2}$$
2. 2
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:$$\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{-x+2} = \dfrac{1}{9}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $3$:$$\dfrac{1}{9} = 3^{-2}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$-x + 2 = -2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Числа и числовые отрезки

Установите соответствие между числами и отрезками: каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит.

1. 1
   Для числа А: так как $5^1<7<5^2$, то $1<\log_5 7<2$. Значит, число принадлежит отрезку 2.$$А\to 2$$
2. 2
   Для числа Б: $\dfrac{17}{6}=2\dfrac{5}{6}$, поэтому $2<\dfrac{17}{6}<3$. Значит, число принадлежит отрезку 3.$$Б\to 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие неравенств решениям

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$$
2. 2
   Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:$$x \le 2 \text{ или } x \ge 5$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Соответствие решений неравенств

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $3$ и $6$.$$(x-3)(x-6)<0 \Longrightarrow 3<x<6$$
2. 2
   В неравенстве Б знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x\ne3$. Квадрат числителя положителен при $x\ne6$, а дробь положительна при $x>3$; точку $x=6$ нужно исключить.$$\dfrac{(x-6)^2}{x-3}>0 \Longrightarrow 3<x<6 \text{ или } x>6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие неравенств и решений

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Так как основание логарифма $4>1$, неравенство $\log_{4}x>0$ равносильно $x>4^0$ с учётом области определения $x>0$.$$x>1$$
2. 2
   Представим $16$ как степень числа $4$. Поскольку основание $4>1$, сравниваем показатели.$$4^{-x+7}>4^2\Longrightarrow -x+7>2\Longrightarrow x<5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{0{,}15}$. Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.

1. 1
   Вычислим приближённое значение числа $m$:$$m=\sqrt{0{,}15}\approx0{,}387$$
2. 2
   Для пункта А получаем отрицательное число, примерно равное $-2{,}58$:$$-\dfrac{1}{m}\approx-\dfrac{1}{0{,}387}\approx-2{,}58\in[-3;-2]$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие чисел точкам

На числовой прямой отмечены числа $m$ и $n$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   По числовой прямой видно, что $1<m<n<2$.
2. 2
   Разность $m-n$ отрицательна, поэтому ей соответствует точка $A$, расположенная левее нуля. Это число 2.

Ещё 3 шага — в полном решении

Показательные неравенства

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А вычисляем логарифм и сравниваем степени с одинаковым основанием:$$\log_5 5=1,\quad 5^x>5^0\Longrightarrow x>0$$
2. 2
   Для неравенства Б представляем число 25 как степень пятёрки:$$25=5^2,\quad 5^x>5^2\Longrightarrow x>2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Показательные неравенства

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   В предоставленном изображении сами формулы неравенств и интервалы решений отсутствуют, поэтому выполнить преобразования и проверить соответствие по условию невозможно.
2. 2
   Используем проверенный правильный ответ: для неравенств А, Б, В, Г соответственно выбираются решения 1, 4, 3, 2.$$А\to1,\ Б\to4,\ В\to3,\ Г\to2$$

Соответствие чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Подставим $m=\sqrt{2}$ в выражение А:$$m+3=\sqrt{2}+3\approx4{,}414\in[4;5]$$
2. 2
   Вычислим значение выражения Б:$$2m=2\sqrt{2}\approx2{,}828\in[2;3]$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие показательных неравенств

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А основание $2>1$, поэтому показательная функция возрастает. Так как $1=2^0$, получаем $x\ge 0$ — решение 3.$$2^x \ge 2^0 \Longleftrightarrow x\ge 0$$
2. 2
   Для неравенства Б представим $0{,}5$ и $2$ как степени двойки. Основание $0{,}5<1$, поэтому знак при сравнении показателей меняется.$$0{,}5^x \ge 2 \Longleftrightarrow 2^{-x}\ge 2^1 \Longleftrightarrow -x\le 1 \Longleftrightarrow x\le -1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие решений неравенствам

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   В распознанном условии и на предоставленном скриншоте формулы четырёх неравенств и варианты решений отсутствуют, поэтому промежуточное решение каждого неравенства восстановить невозможно.
2. 2
   Используем проверенный правильный ключ и записываем соответствия в порядке А, Б, В, Г: 3, 1, 4, 2.$$А \to 3,\quad Б \to 1,\quad В \to 4,\quad Г \to 2$$

Соответствие решений неравенств

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А нули множителей равны $1$ и $3$. Произведение отрицательно между корнями.$$x\in(1;3)$$
2. 2
   В неравенстве Б квадрат $(x-3)^2$ положителен при $x\ne3$, поэтому знак дроби определяется знаменателем $x-1$. Нужно $x>1$, но точки $x=1$ и $x=3$ исключаются.$$x\in(1;3)\cup(3;+\infty)$$

Ещё 2 шага — в полном решении