Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Договоры между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Посчитаем сумму количеств договоров, заключённых каждой страной:$$4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 = 12 + 30 = 42$$
2. 2
   Каждый договор при таком подсчёте учитывается дважды — по одному разу для каждой из двух стран.$$42 : 2 = 21$$

Итоговая отметка по произведению

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$1338 = 2 \cdot 3 \cdot 223$$
2. 2
   Так как все отметки являются цифрами от 2 до 5, множитель 223 образуется из трёх последовательных отметок 2, 2 и 3. Оставшиеся две отметки должны дать множители 2 и 3. Последовательность отметок: 2, 2, 3, 2, 3.$$223 \cdot 2 \cdot 3 = 1338$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число жителей дома

В доме всего четырнадцать квартир, их номера от 1 до 14. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 10-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в…

1. 1
   Обозначим через $S$ суммарное число жителей в квартирах с 7-й по 10-ю.
2. 2
   Тогда в квартирах с 1-й по 6-ю живёт $12-S$ человек, а в квартирах с 11-й по 14-ю — $18-S$ человек.

Ещё 3 шага — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость оплаты за каждый метр образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=4300$, разностью $d=1300$ и количеством членов $n=9$.$$a_1=4300,\quad d=1300,\quad n=9$$
2. 2
   Найдём сумму оплаты за все 9 метров по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии.$$S_9=\dfrac{9\left(2\cdot4300+(9-1)\cdot1300\right)}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 7. Среднее арифметическое этих чисел и шестого числа равно 8. Чему равно шестое число?

1. 1
   Сумма пяти чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_5 = 5 \cdot 7 = 35$$
2. 2
   Сумма шести чисел равна:$$S_6 = 6 \cdot 8 = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Натуральные числа и уравнение

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 4 и меньшие 8, каждое из них принимает одно из значений $5$, $6$ или $7$.$$A,B,C\in\{5,6,7\}$$
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение.$$Ax+B-C=417$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 1 большую фишку, отдав 10 маленьких. До обменов у Пети было 150 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 60…

1. 1
   За один обмен количество фишек уменьшается на 9: Петя отдаёт 10 фишек и получает 1 большую.$$10 - 1 = 9$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 90.$$150 - 60 = 90$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 55 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 20 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Расположим точку А на окружности. Точка В находится на расстоянии 50 км от А, а точка Г — на расстоянии 20 км от А по противоположной дуге. Тогда расстояние между В и Г равно сумме этих дуг и составляет 70 км по одной из дуг.$$50 + 20 = 70$$
2. 2
   Так как кратчайшее расстояние между В и Г равно 40 км, длина окружности равна сумме двух дуг.$$L = 70 + 40 = 110$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На…

1. 1
   Пусть на каждом этаже находится $n$ квартир. Тогда в одном подъезде $12n$ квартир. Квартира № 468 находится в восьмом подъезде, поэтому первые семь подъездов содержат меньше 468 квартир, а первые восемь — не меньше 468.$$7 \cdot 12n < 468 \leq 8 \cdot 12n$$
2. 2
   Следовательно, число квартир на этаже удовлетворяет неравенству $58{,}5 \leq n < 66{,}86$. Так как число квартир в подъезде $12n$, получаем целое значение $n=5$.$$12n \in (420;480],\quad n=5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Обмен монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: · за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную; · за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа.
2. 2
   Золотых монет в итоге не появилось, поэтому количество полученных золотых монет равно количеству потраченных:$$5y-4x=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 2, 3 и 18. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины левой и правой частей через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
2. 2
   Периметры трёх известных прямоугольников равны:$$2(a+c)=2,\quad 2(b+c)=3,\quad 2(b+d)=18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже в любом подъезде одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $a$, число этажей в одном подъезде через $b$, а число квартир на этаже через $c$. Тогда общее число квартир равно:$$abc = 345$$
2. 2
   Разложим число 345 на простые множители:$$345 = 3 \cdot 5 \cdot 23$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Стоимость рытья колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3900 рублей, а за каждый следующий метр — на 1200 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3900 рублей и разностью 1200 рублей.$$a_1 = 3900,\quad d = 1200,\quad n = 6$$
2. 2
   Найдём стоимость шестого метра.$$a_6 = a_1 + 5d = 3900 + 5 \cdot 1200 = 9900$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   По расположению бензоколонок на кольцевой дороге расстояние между Б и В равно разности расстояний от А до этих точек.$$BV = AB - AV$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$BV = 75 - 50 = 25$$

Прыжки кузнечика по прямой

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 12 прыжков кузнечик может оказаться в точках от $-12$ до $12$.
2. 2
   Так как число прыжков чётное, конечная координата должна быть чётной. Возможные координаты: $-12, -10, \ldots, 10, 12$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 65 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 35 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Три дуги между А, В и Г образуют всю кольцевую дорогу, поэтому её длина равна:$$L = 50 + 35 + 45 = 130\ \text{км}$$
2. 2
   Расположим точки на кольцевой дороге в порядке А, В, Г. От точки А до точки В — 50 км, а до точки Б — 65 км в том же направлении.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество кусков палки

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько…

1. 1
   Число линий каждого цвета на одну меньше числа получившихся кусков.$$8-1=7,\quad 12-1=11,\quad 6-1=5$$
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$7+11+5=23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 10 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько…

1. 1
   Если распилить палку по $n$ поперечным линиям, получится $n+1$ кусок. Поэтому число красных линий равно $8-1=7$, жёлтых — $10-1=9$, зелёных — $6-1=5$.
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$(8-1)+(10-1)+(6-1)=7+9+5=21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество строк таблицы

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 72, во втором — 81, в третьем — 91, а сумма чисел в…

1. 1
   Сложим суммы чисел в трёх столбцах и получим сумму всех чисел таблицы:$$72 + 81 + 91 = 244$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 13 и меньшее 16, поэтому она равна 14 или 15.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество груздей в корзине

В корзине лежит 35 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 18 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 19 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

1. 1
   Из условия о любых 18 грибах следует, что груздей не может быть 18 или больше: иначе можно было бы выбрать 18 груздей без рыжика. Поэтому груздей не больше 17.$$G \leqslant 17$$
2. 2
   Из условия о любых 19 грибах следует, что рыжиков не может быть 19 или больше: иначе можно было бы выбрать 19 рыжиков без груздя. Значит, рыжиков не больше 18.$$R \leqslant 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении