Клетки таблицы $6 \times 6$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 30 пар соседних клеток разного цвета и 16 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
В каждой из 6 строк есть 5 горизонтальных пар соседних клеток, а в каждом из 6 столбцов — 5 вертикальных пар.$$6 \cdot 5 + 6 \cdot 5 = 60$$
- 2
Общее количество пар соседних клеток состоит из пар разного цвета, пар чёрного цвета и пар белого цвета.$$60 = 30 + 16 + x$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Маша и Медведь съели 68 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре…
- 1
Пусть первый промежуток времени длится $t$, а второй — $s$. Скорость Медведя в $4$ раза больше скорости Маши. Так как варенья они съели поровну, получаем:$$v t = 4v s$$
- 2
Следовательно, $t=4s$. Можно принять длительность первого и второго промежутков равной $4$ и $1$ соответственно.
Ещё 3 шага — в полном решении
Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 9 партий, а Коля — 19. Сколько партий…
- 1
Коля сыграл 19 партий — больше, чем Миша. При описанном порядке смены игроков Коля участвовал в каждой партии, поэтому всего было 19 партий.$$N = 19$$
- 2
В каждой партии вместе с Колей участвовал один из двух других игроков — Миша или Лёша. Поэтому число партий Миши и Лёши в сумме равно общему числу партий.$$9 + x = 19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Маша и Медведь съели 140 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…
- 1
Пусть Маша ест со скоростью $v$, тогда Медведь ест со скоростью $3v$. Пусть Маша ела варенье время $t$, а после обмена — время $T-t$.$$v_{\text{М}}=v,\quad v_{\text{Мед}}=3v$$
- 2
Маша съела варенья $vt$, а Медведь — $3v(T-t)$. По условию эти количества равны.$$vt=3v(T-t)\Rightarrow t=3(T-t)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…
- 1
Пятнадцать параллелей делят поверхность глобуса на шестнадцать зон: две полярные и четырнадцать расположенных между соседними параллелями.$$15 + 1 = 16$$
- 2
Каждый из 20 меридианов проходит через каждую зону и делит её на одну часть. Поэтому общее число частей равно произведению числа зон на число меридианов.$$16 \cdot 20 = 320$$
В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
- 1
Из условия о любых 12 грибах следует, что груздей не может быть 12 или больше: иначе можно было бы выбрать 12 груздей без рыжиков. Поэтому груздей не более 11, а рыжиков не менее 19.$$30 - 11 = 19$$
- 2
Из условия о любых 20 грибах следует, что рыжиков не может быть 20 или больше: иначе можно было бы выбрать 20 рыжиков без груздей. Поэтому рыжиков не более 19.$$N_{\text{рыжиков}} \leq 19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 20 см длиннее другой. Если разрезать…
- 1
При разрезе на расстоянии $x$ от середины разность длин получившихся частей равна двум расстояниям от середины до места разреза.$$\Delta = 2x$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{20}{2} = 10\text{ см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 50. На каком этаже живёт Петя?
- 1
На первых восьми этажах размещаются квартиры с номерами от 1 до 48:$$8 \cdot 6 = 48$$
- 2
Квартира № 50 находится среди квартир 49–54, расположенных на девятом этаже.$$\left\lceil \dfrac{50}{6} \right\rceil = 9$$
Из десяти стран три подписали двусторонний договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся семи — ровно с двумя. Сколько всего было подписано договоров?
- 1
Посчитаем общее число упоминаний договоров у стран:$$3 \cdot 6 + 7 \cdot 2 = 18 + 14 = 32$$
- 2
Каждый двусторонний договор учтён два раза — по одному разу для каждой страны.$$N = \dfrac{32}{2} = 16$$
Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 19. Среднее арифметическое этих чисел и одиннадцатого числа равно 20. Чему равно одиннадцатое число?
- 1
Найдём сумму десяти чисел:$$S_{10}=10\cdot19=190$$
- 2
Среднее арифметическое десяти чисел и одиннадцатого числа равно 20, поэтому сумма всех одиннадцати чисел равна:$$S_{11}=11\cdot20=220$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько…
- 1
При распиле по красным линиям образуется 5 кусков, значит, красных линий $5 - 1 = 4$.
- 2
Аналогично, жёлтых линий $7 - 1 = 6$, зелёных линий $11 - 1 = 10$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…
- 1
12 параллелей разделяют поверхность глобуса на 13 поясов: между соседними параллелями и у обоих полюсов.$$12 + 1 = 13$$
- 2
15 меридианов делят каждый пояс на 15 частей.$$13 \cdot 15 = 195$$
В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
- 1
Из условия о любых 23 грибах следует, что груздей не может быть 23 или больше: иначе можно было бы выбрать 23 груздя без рыжиков. Поэтому груздей не более 22.$$G \leq 22$$
- 2
Из условия о любых 24 грибах следует, что рыжиков не может быть 24 или больше: иначе можно было бы выбрать 24 рыжика без груздей. Поэтому рыжиков не более 23.$$R \leq 23$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 150, во втором — 131, а в третьем — 113. Сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$150 + 131 + 113 = 394$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 25 и меньшее 28, поэтому она может быть равна только 26 или 27.
Ещё 2 шага — в полном решении
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 35 км, между А и В — 15 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль…
- 1
Три дуги между А, В и Г образуют всю кольцевую дорогу, поэтому её длина равна:$$L = 15 + 25 + 30 = 70$$
- 2
Расстояние между А и Б равно половине длины кольцевой дороги:$$AB = \frac{70}{2} = 35$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…
- 1
Пусть всё время еды равно $T$, а скорость Маши при поедании любого продукта равна $v$. Медведь ест со скоростью $3v$.
- 2
Пусть Маша ела варенье время $t$. Тогда Медведь ел варенье время $T-t$. По условию количества варенья равны:$$vt=3v(T-t)$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 12 и 24. Найдите площадь…
- 1
Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. Произведения площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, равны:$$15 \cdot 24 = 12x$$
- 2
Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{15 \cdot 24}{12} = 30$$
В классе 28 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с тремя мальчиками. Сколько девочек учится в этом классе?
- 1
Пусть $m$ — число мальчиков, а $d$ — число девочек. По условию всего 28 учеников:$$m+d=28$$
- 2
Число дружеских связей можно посчитать двумя способами. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с тремя мальчиками:$$4m=3d$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 7 золотых монет получить 16 серебряных и одну медную; за 5 серебряных монет получить 2 золотые и одну медную. У Николая были только…
- 1
Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Так как золотых монет в итоге не появилось, их общий прирост равен нулю:$$-7x+2y=0$$
- 2
Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому:$$x+y=39$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Тамара, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Тамара живёт в квартире № 44. В каком подъезде живёт Тамара?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
- 2
В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 25. Квартира № 44 находится в диапазоне от 26 до 50, то есть во втором подъезде.$$25 < 44 \leq 50$$