ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $16\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$16\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 3. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёма второго конуса к объёму первого. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Отношение объёмов шаров

Даны два шара с радиусами 4 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Находим отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_б}{V_м} = \left(\dfrac{4}{2}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h = 9$.
2. 2
   Ширина прямоугольника — хорда основания цилиндра. Половина хорды, расстояние от центра основания до хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник:$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + 24^2 = 25^2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 5 и 7.

1. 1
   Подставим значения рёбер $a = 3$, $b = 5$, $c = 7$ в формулу площади поверхности.$$S = 2(ab + ac + bc)$$
2. 2
   Вычислим сумму площадей трёх граней и умножим её на 2.$$S = 2(3 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 2(15 + 21 + 35) = 142$$

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $2\sqrt{10}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{40-4}=6$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot6=6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём конуса по сечению

Через точку, делящую высоту данного конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём данного конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…

1. 1
   Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса малый конус, подобный исходному.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}}=k^3=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его радиуса.$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Найдём отношение площади поверхности большего шара к площади поверхности меньшего:$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4\pi\cdot 6^2}{4\pi\cdot 1^2}=\frac{36}{1}=36$$

Объёмы двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 4 и 2, а второго — 2 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём отношение объёма первого конуса к объёму второго. Общие множители сократятся:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2} = \dfrac{4^2 \cdot 2}{2^2 \cdot 4} = \dfrac{32}{16} = 2$$

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 7 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Отношение площади поверхности большего шара к площади поверхности меньшего равно квадрату отношения их радиусов:$$\frac{S_{\text{больш}}}{S_{\text{меньш}}} = \left(\frac{7}{1}\right)^2 = 49$$

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $3$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Площадь основания призмы — площадь равностороннего треугольника со стороной $3$.$$S_{\text{осн}}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{81}{4}$$

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 14. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 70.

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 3 \cdot 14 = 42$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h, \quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $CD$, $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $6$ и $\sqrt{29}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную грань $CDD_1C_1$. Её диагональ $CD_1$ и стороны $CD$, $DD_1$ связаны теоремой Пифагора.$$CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2$$
2. 2
   Найдём третье ребро параллелепипеда:$$DD_1 = \sqrt{CD_1^2 - CD^2} = \sqrt{29 - 25} = 2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $\sqrt{58}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 2.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b = \sqrt{(\sqrt{58})^2 - 3^2} = \sqrt{58 - 9} = 7$$
2. 2
   Найдём площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 = 10{,}5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 4, 5 и…

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(4 \cdot 5 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 10)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений:$$S = 2(20 + 40 + 50) = 2 \cdot 110 = 220$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $27\pi$, а его высота равна $9$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$27\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 9 = 3\pi r^2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $6$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $2\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h=SA=2\sqrt{3}$$
2. 2
   Основание — правильный треугольник со стороной $6$, поэтому его площадь равна:$$S_{ABC}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго — 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площадей боковых поверхностей двух конусов:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 2 \cdot 9}{\pi \cdot 2 \cdot 3} = 3$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Точка находится на расстоянии одной части из четырёх от вершины, поэтому коэффициент подобия равен$$k=\frac{1}{1+3}=\frac14$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\frac{V_\text{малого}}{128}=k^3=\left(\frac14\right)^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 29, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 20. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h = 15$.
2. 2
   Ширина прямоугольника — длина хорды основания, находящейся на расстоянии 20 от центра. По теореме Пифагора для половины хорды:$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = 29^2 - 20^2 = 441$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде