Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{14}}{4^5}$.

1. 1
   Представим число $4$ как степень числа $2$:$$4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{2^{14}}{2^{10}} = 2^{14-10} = 2^4 = 16$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{14}{5} - 0{,}6 \cdot \dfrac{2}{3}$.

1. 1
   Выполним умножение в выражении:$$0{,}6 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$$
2. 2
   Вычтем полученное значение из первой дроби:$$\dfrac{14}{5} - 0{,}4 = 2{,}8 - 0{,}4 = 2{,}4$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^9}{64^2}$.

1. 1
   Представим число $64$ в виде степени числа $4$:$$64=4^3$$
2. 2
   Преобразуем знаменатель и разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{4^9}{64^2}=\dfrac{4^9}{(4^3)^2}=\dfrac{4^9}{4^6}=4^{9-6}=4^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{7^{-4}}{(7^3)^{-2}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в знаменателе:$$(7^3)^{-2} = 7^{3 \cdot (-2)} = 7^{-6}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{7^{-4}}{7^{-6}} = 7^{-4-(-6)} = 7^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение разностей корней

Найдите значение выражения $(\sqrt{17}-\sqrt{3})(\sqrt{17}+\sqrt{3})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения подкоренных выражений и вычислим.$$(\sqrt{17}-\sqrt{3})(\sqrt{17}+\sqrt{3})=17-3=14$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_6 1{,}5 + \log_6 24$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_6 1{,}5 + \log_6 24 = \log_6(1{,}5 \cdot 24)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов:$$1{,}5 \cdot 24 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степени числа

Найдите значение выражения $\dfrac{49^3}{7^3}$.

1. 1
   Представим число $49$ в виде степени числа $7$:$$49=7^2$$
2. 2
   Применим свойство степени произведения и разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{49^3}{7^3}=\dfrac{(7^2)^3}{7^3}=7^{6-3}=7^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Логарифм степени числа

Найдите значение выражения $\log_5 5^3$.

1. 1
   Используем свойство логарифма степени с тем же основанием.$$\log_a a^n=n$$
2. 2
   Подставляем $a=5$ и $n=3$.$$\log_5 5^3=3$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{0{,}9 \cdot 10^2}{3 \cdot 10^{-1}}$.

1. 1
   Разделим числовые множители и степени десяти:$$\dfrac{0{,}9 \cdot 10^2}{3 \cdot 10^{-1}} = \dfrac{0{,}9}{3} \cdot \dfrac{10^2}{10^{-1}}$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{0{,}9}{3} \cdot 10^{2-(-1)} = 0{,}3 \cdot 10^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сложение чисел в стандартном виде

Найдите значение выражения $5{,}9 \cdot 10^3 + 2{,}7 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим первое слагаемое:$$5{,}9 \cdot 10^3 = 5900$$
2. 2
   Вычислим второе слагаемое:$$2{,}7 \cdot 10^2 = 270$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $4^{2\log_4 6}$.

1. 1
   Преобразуем показатель степени по свойству логарифма:$$2\log_4 6=\log_4 6^2$$
2. 2
   Применяем основное свойство логарифмов $a^{\log_a b}=b$:$$4^{2\log_4 6}=4^{\log_4 6^2}=6^2=36$$

Значение степенного выражения

Найдите значение выражения $3^{4\log_3 5}$.

1. 1
   Вынесем множитель 4 из показателя степени:$$3^{4\log_3 5}=(3^{\log_3 5})^4$$
2. 2
   По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b}=b$ получаем:$$(3^{\log_3 5})^4=5^4=625$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{9\sqrt{216}}{\sqrt{6}}$.

1. 1
   Применим свойство дроби квадратных корней и разделим подкоренные выражения:$$\frac{9\sqrt{216}}{\sqrt{6}}=9\sqrt{\frac{216}{6}}$$
2. 2
   Вычислим значение корня:$$9\sqrt{36}=9\cdot6=54$$

Вычисление значения выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{7}{4} - 2{,}3 - \dfrac{3}{20}$.

1. 1
   Преобразуем обыкновенные дроби в десятичные:$$\dfrac{7}{4}=1{,}75,\qquad \dfrac{3}{20}=0{,}15$$
2. 2
   Подставим полученные значения и вычислим выражение:$$1{,}75-2{,}3-0{,}15=-0{,}55-0{,}15=-0{,}7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{-10}}{(4^4)^{-3}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в знаменателе по правилу степени степени.$$(4^4)^{-3}=4^{4\cdot(-3)}=4^{-12}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{4^{-10}}{4^{-12}}=4^{-10-(-12)}=4^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление значения выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{8\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$.

1. 1
   Разложим число $80$ на множители $16$ и $5$.$$80=16\cdot5$$
2. 2
   Преобразуем корень и сократим множитель $\sqrt{5}$.$$\dfrac{8\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\dfrac{8\sqrt{16}\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=8\cdot4=32$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{6^5}{6^6 \cdot 6^{-3}}$.

1. 1
   Объединим степени в знаменателе:$$6^6 \cdot 6^{-3} = 6^{6+(-3)} = 6^3$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{6^5}{6^3} = 6^{5-3} = 6^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{15}5 + \log_{15}45$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_{15}5 + \log_{15}45 = \log_{15}(5 \cdot 45)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и представим его как степень основания.$$5 \cdot 45 = 225 = 15^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$.

1. 1
   Разложим подкоренное выражение $20$ на множители $5$ и $4$.$$\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot4}=2\sqrt5$$
2. 2
   Сократим дробь на $\sqrt5$.$$\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{\sqrt5}=2$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(-\frac{9}{13}\right):\frac{9}{26}-1{,}5$.

1. 1
   Заменяем деление на дробь умножением на обратную дробь.$$\left(-\frac{9}{13}\right):\frac{9}{26}=\left(-\frac{9}{13}\right)\cdot\frac{26}{9}$$
2. 2
   Сокращаем дробь и выполняем умножение.$$\left(-\frac{9}{13}\right)\cdot\frac{26}{9}=-2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении