Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Поиск числа по условиям

Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее 500, которое при делении и на 8, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других…

1. 1
   Рассмотрим число $201$. Оно является трёхзначным и меньше 500.
2. 2
   При делении на 8 число $201$ даёт остаток $1$: $201 = 8 \cdot 25 + 1$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе $78764138$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $12$. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   После вычёркивания трёх цифр должно остаться пятизначное число, составленное в том же порядке из цифр числа $78764138$.
2. 2
   Для делимости на $12$ число должно делиться на $3$ и на $4$. Оставим цифры $7$, $8$, $6$, $4$, $8$, вычеркнув вторую цифру $7$, цифру $1$ и цифру $3$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 25

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число кратно 25, если его последние две цифры образуют одно из чисел 00, 25, 50 или 75.
2. 2
   Все цифры должны быть нечётными, поэтому подходят окончания 25 или 75.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного натурального числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 1629. Укажите какое-нибудь…

1. 1
   Обозначим цифры исходного числа через $a$, $b$, $c$, $d$. Исходное число равно $1000a+100b+10c+d$, а записанное наоборот — $1000d+100c+10b+a$.$$N=1000a+100b+10c+d$$
2. 2
   Число кратно 5, а после перестановки цифр получается четырёхзначное число, поэтому последняя цифра исходного числа должна быть $d=5$.$$d=5$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Отметки и разложение произведения

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$4707 = 3 \cdot 1569 = 3 \cdot 3 \cdot 523$$
2. 2
   Число 523 состоит из трёх допустимых отметок, записанных подряд: 5, 2 и 3. Поэтому все пять отметок: 3, 3, 5, 2, 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сумма делителей числа 130

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $130$ представлено как произведение трёх различных простых чисел: $2$, $5$ и $13$.$$130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению увеличенных на единицу простых множителей.$$(2 + 1)(5 + 1)(13 + 1) = 3 \cdot 6 \cdot 14 = 252$$

Четырёхзначное число и куб

Найдите четырёхзначное число, которое в 11 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Искомое число должно иметь вид $\dfrac{n^3}{11}$, где $n$ — натуральное число.
2. 2
   Возьмём натуральное число $n = 33$. Его куб равен:$$33^3 = 35937$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Удаление цифр из числа

Вычеркните в числе 84164718 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Так как $12 = 3 \cdot 4$, получившееся число должно делиться и на 3, и на 4.$$84648 = 8\,4\,6\,4\,8$$
2. 2
   Вычёркиваем из числа 84164718 цифры 1, 7 и 1. Остаётся число 84648.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число, делящееся на цифры

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 2200, но меньшее 3000, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю.

1. 1
   Так как число больше $2200$ и меньше $3000$, его первая цифра равна $2$. Рассмотрим число $2364$: все его цифры различны и не равны нулю.$$2364>2200,\quad 2364<3000$$
2. 2
   Проверим делимость числа на каждую его цифру.$$2364=2\cdot1182=3\cdot788=6\cdot394=4\cdot591$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число без нулей

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого на 1 больше их произведения и в записи которого отсутствуют нули. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $1312$. В нём четыре цифры, и ни одна из них не равна нулю.
2. 2
   Сумма цифр числа равна $1+3+1+2=7$, а произведение цифр равно $1\cdot3\cdot1\cdot2=6$. Сумма на $1$ больше произведения.$$7=6+1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма делится на 20

На шести карточках написаны цифры 3, 6, 7, 7, 8, 9 — по одной цифре на каждой карточке. В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…

1. 1
   Нужно составить сумму из однозначного, двузначного и трёхзначного чисел, используя все цифры $3, 6, 7, 7, 8, 9$ ровно по одному разу.
2. 2
   Подберём расположение карточек, при котором сумма будет оканчиваться на 0 и делиться на 20:$$3 + 78 + 679 = 760$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 2448. В ответе укажите какое-нибудь одно…

1. 1
   Пусть исходное число имеет цифры $a$, $b$, $c$, $d$. Так как оно кратно 5, последняя цифра равна $0$ или $5$. Рассмотрим число $7505$.
2. 2
   При записи цифр в обратном порядке получаем второе четырёхзначное число $5057$.$$7505 \longrightarrow 5057$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число из цифр 1 и 2

Найдите семизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим делитель:$$72 = 8 \cdot 9$$
2. 2
   Рассмотрим число $1112112$. Сумма его цифр равна $9$, поэтому число делится на $9.$$1+1+1+2+1+1+2=9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Пятизначное число с разностью цифр

Найдите пятизначное число, кратное 22, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $22=2\cdot 11$, число должно быть чётным и делиться на $11$.
2. 2
   Выберем чередующиеся цифры $6$ и $9$: каждая пара соседних цифр отличается на $3$. Получаем пятизначное число $69696$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число из цифр 0 и 6

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 6 и делится на 90. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $90 = 9 \cdot 10$, число должно делиться одновременно на 9 и на 10.
2. 2
   Для делимости на 10 последняя цифра должна быть равна 0. Выберем число $606060$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сумма делителей числа

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)$. Найдите сумму всех делителей числа $195$, если…

1. 1
   Число $195$ представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $3$, $5$ и $13$.$$195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению увеличенных на единицу простых множителей.$$(3 + 1)(5 + 1)(13 + 1)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число с заданными свойствами

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его…

1. 1
   Пусть цифры трёхзначного числа — $a$, $b$, $c$. По условию средняя цифра является средним арифметическим двух других:$$b=\frac{a+c}{2},\quad 2b=a+c$$
2. 2
   Рассмотрим число $543$. Его средняя цифра $4$ является средним арифметическим цифр $5$ и $3$:$$4=\frac{5+3}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее число, кратное 75

Найдите наибольшее пятизначное число, кратное 75, произведение цифр которого больше 85, но меньше 95.

1. 1
   Число, кратное $75$, должно одновременно делиться на $3$ и на $25$. Поэтому его последние две цифры — $00$, $25$, $50$ или $75$, а сумма цифр делится на $3$.$$75 = 3 \cdot 25$$
2. 2
   Проверяем пятизначные числа, начиная с наибольших, с допустимыми окончаниями и произведением цифр от $86$ до $94$. Наибольшим подходящим числом оказывается $91125$.$$9 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 90$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма делителей произведения простых

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $186$ представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=31$.$$186=2\cdot3\cdot31$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(3+1)(31+1)=3\cdot4\cdot32=384$$

Пятизначное число кратное 12

Найдите пятизначное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим число 40 на произведение пяти цифр. Подходит набор цифр $2, 2, 5, 1, 2$.
2. 2
   Составим из этих цифр число $22512$. Произведение его цифр равно 40:$$2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2 = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении