541ФИПИ CB8F06№ 8Повышенная Во дворе школы растёт всего три дерева: ясень, берёза и осина. Ясень ниже берёзы на 1 метр, но выше осины на 2 метра. Определите, какие из предложенных утверждений верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим высоту ясеня через $h$. Тогда высота берёзы на 1 метр больше, а высота осины на 2 метра меньше.$$h_{\text{берёзы}}=h+1,\quad h_{\text{осины}}=h-2$$
- 2
Следовательно, деревья расположены по высоте так: берёза, ясень, осина.$$h_{\text{берёзы}}>h_{\text{ясеня}}>h_{\text{осины}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
542ФИПИ CC81F0№ 8Повышенная В таблице даны результаты олимпиад по русскому языку и биологии в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 110 или хотя бы по одному…
- 1
Баллы по русскому языку меньше 60 имеют ученики 1, 2, 3, 7, 8 и 9.
- 2
Проверим условие получения грамоты. У ученика 2 по биологии 85 баллов, у ученика 7 — 64 балла, у ученика 8 — 65 баллов. Во всех трёх случаях хотя бы по одному предмету набрано не меньше 60 баллов.
Ещё 1 шаг — в полном решении
543ФИПИ CFC3D6№ 8Повышенная Некоторые сотрудники фирмы летом 2025 года отдыхали в Крыму, а некоторые — в Сочи. Все сотрудники, которые отдыхали в Сочи, не отдыхали в Крыму.
- 1
По условию каждый сотрудник, отдыхавший в Сочи, не отдыхал в Крыму. Следовательно, один сотрудник не мог отдыхать одновременно в обоих местах.$$Сочи \cap Крым = \varnothing$$
- 2
Утверждение 1 верно, так как оно непосредственно следует из условия.
Ещё 3 шага — в полном решении
544ФИПИ D2DB5D№ 8Повышенная Некоторые сотрудники фирмы летом 2025 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче.
- 1
По условию, для любого сотрудника верно: если он не отдыхал на море, то он отдыхал на даче. Следовательно, сотрудник не может не отдыхать ни на даче, ни на море.
- 2
Значит, каждый сотрудник отдыхал хотя бы на одном из двух мест: на даче или на море. Утверждение 1 верно.
Ещё 2 шага — в полном решении
545ФИПИ D3666C№ 8Повышенная На соревнованиях сборная России завоевала медалей больше, чем сборная Канады, сборная Канады — больше, чем сборная Германии, а сборная Норвегии — меньше, чем сборная Канады. Выберите все…
- 1
Обозначим количества медалей сборных России, Канады, Германии и Норвегии соответственно через $R$, $K$, $G$ и $N$.
- 2
По условию имеем неравенства:$$R>K>G,\quad K>N$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Двадцать выпускников одного из одиннадцатых классов сдавали ЕГЭ по русскому языку. Самый низкий балл, полученный в этом классе по русскому языку, был равен 28, а самый высокий — 83. Выберите все…
- 1
Так как 83 — самый высокий полученный балл, среди выпускников обязательно есть человек, набравший 83 балла. Утверждение 1 верно.
- 2
Из условия следует, что самый низкий балл равен 28. Поэтому все двадцать баллов не меньше 28, а значит, не меньше 27. Утверждение 4 верно.$$28 \ge 27$$
Ещё 2 шага — в полном решении
547ФИПИ D64A1F№ 8Повышенная В группе учится 40 студентов, из них 25 человек сдали зачёт по педагогике и 25 сдали зачёт по философии. Определите, какие утверждения верны при указанных условиях.
- 1
Пусть $x$ — число студентов, сдавших оба зачёта. Тогда число студентов, сдавших хотя бы один зачёт, равно:$$25 + 25 - x = 50 - x$$
- 2
Так как всего в группе 40 студентов, получаем:$$50 - x \leq 40,\quad x \geq 10$$
Ещё 2 шага — в полном решении
548ФИПИ D6D72A№ 8Повышенная Некоторые сотрудники фирмы летом 2024 года отдыхали в Крыму, а некоторые — в Сочи. Все сотрудники, которые отдыхали в Сочи, не отдыхали в Крыму.
- 1
По условию все сотрудники, отдыхавшие в Сочи, не отдыхали в Крыму. Следовательно, сотрудников, отдыхавших одновременно и в Крыму, и в Сочи, нет.
- 2
Указано, что некоторые сотрудники отдыхали в Крыму. Такие сотрудники не отдыхали в Сочи, поэтому среди сотрудников, не отдыхавших в Сочи, есть хотя бы один отдыхавший в Крыму.
Ещё 1 шаг — в полном решении
549ФИПИ D6F56A№ 8Повышенная Некоторые сотрудники фирмы летом 2016 года отдыхали в Крыму, а некоторые — в Сочи. Все сотрудники, которые отдыхали в Сочи, не отдыхали в Крыму.
- 1
По условию, все сотрудники, отдыхавшие в Сочи, не отдыхали в Крыму. Значит, сотрудник не может отдыхать одновременно в обоих местах.$$S \cap K = \varnothing$$
- 2
Так как некоторые сотрудники отдыхали в Крыму, существует хотя бы один сотрудник, который отдыхал в Крыму и не отдыхал в Сочи. Поэтому утверждение 3 верно.
Ещё 2 шага — в полном решении
550ФИПИ D90638№ 8Повышенная В компании из 42 человек 25 пользуются социальной сетью «Одноклассники», а 20 — социальной сетью «ВКонтакте». Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим через $x$ число людей, пользующихся обеими социальными сетями.
- 2
Число людей, пользующихся хотя бы одной сетью, равно $25 + 20 - x = 45 - x$. Оно не может превышать общее число людей в компании:$$45 - x \leq 42$$
Ещё 3 шага — в полном решении
551ФИПИ D98E7A№ 8Повышенная Среди жителей дома № 23 есть те, кто работает, и есть те, кто учится. А также есть те, кто не работает и не учится. Некоторые жители дома № 23, которые учатся, ещё и работают. Выберите все…
- 1
По условию некоторые жители, которые учатся, ещё и работают. Значит, хотя бы один работающий житель учится.
- 2
Так как существует хотя бы один работающий житель, утверждение о наличии работающих жителей также верно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
552ФИПИ DA8A16№ 8Повышенная В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Пусть $A$ — множество участников кружка по истории, а $B$ — множество участников кружка по математике. Минимальное число общих участников определяется формулой включений-исключений.$$|A \cap B| \geq |A| + |B| - 20$$
- 2
Подставим данные задачи: общих участников должно быть не менее трёх.$$|A \cap B| \geq 13 + 10 - 20 = 3$$
Ещё 2 шага — в полном решении
553ФИПИ DAFE30№ 8Повышенная Некоторые учащиеся 10-х классов школы ходили в апреле на спектакль «Гроза». В мае некоторые десятиклассники пойдут на постановку по пьесе «Бесприданница», причём среди них не будет тех, кто ходил в…
- 1
Обозначим через $A$ множество учащихся, которые ходили на спектакль «Гроза», а через $B$ — множество учащихся, которые пойдут на постановку по пьесе «Бесприданница».
- 2
По условию среди посетителей «Бесприданницы» не будет тех, кто ходил на «Грозу». Значит, множества не пересекаются: $A \cap B = \varnothing$.
Ещё 3 шага — в полном решении
554ФИПИ DE39F4№ 8Повышенная Среди дачников в посёлке есть те, кто выращивает виноград, и есть те, кто выращивает груши. Также есть те, кто не выращивает ни виноград, ни груши. Некоторые дачники, выращивающие виноград, также…
- 1
Из условия следует, что среди дачников есть люди, выращивающие виноград. Поэтому утверждение 2 верно.
- 2
Также сказано, что некоторые дачники, выращивающие виноград, выращивают и груши. Значит, существует хотя бы один дачник, выращивающий обе культуры, поэтому утверждение 3 верно.
Ещё 2 шага — в полном решении
555ФИПИ E2A528№ 8Повышенная В таблице даны результаты олимпиад по математике и биологии в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 120 или хотя бы по одному предмету…
- 1
Выбираем учеников, набравших меньше 65 баллов по математике: это ученики 1, 3, 5 и 7.
- 2
Ученик 1 получил грамоту, так как по биологии набрал 84 балла. Ученик 3 получил грамоту, так как по биологии набрал 65 баллов.
Ещё 1 шаг — в полном решении
556ФИПИ E378B7№ 8Повышенная Хозяйка к празднику купила сок, мороженое, грибы и рыбу. Мороженое стоило дороже грибов, но дешевле рыбы, сок стоил дешевле мороженого. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим стоимости покупок: сок — $С$, мороженое — $М$, грибы — $Г$, рыба — $Р$. Из условия получаем $Г < М < Р$ и $С < М$.
- 2
Так как $С < М$ и $М < Р$, то $С < Р$. Следовательно, утверждение 1 верно.
Ещё 3 шага — в полном решении
557ФИПИ E3E7C1№ 8Повышенная Некоторые сотрудники фирмы летом 2014 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче. Выберите все утверждения, которые верны при…
- 1
Рассмотрим исходное условие. Для любого сотрудника фирмы верно: если он не отдыхал на море, то он отдыхал на даче.$$\neg M \Rightarrow D$$
- 2
Утверждение 1 верно. Если сотрудник отдыхал на море, условие выполнено. Если он не отдыхал на море, то по условию он отдыхал на даче. Возможен также отдых и на море, и на даче.$$M \lor D$$
Ещё 3 шага — в полном решении
558ФИПИ E87D2C№ 8Повышенная Во дворе школы растут всего три дерева: ясень, рябина и осина. Ясень выше рябины, но ниже осины. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Пусть высоты рябины, ясеня и осины равны соответственно $r$, $y$ и $o$. По условию:$$r < y < o$$
- 2
Из неравенства $r < y$ следует, что рябина и ясень имеют разную высоту. Из неравенства $y < o$ следует, что ясень и осина имеют разную высоту. Следовательно, все три дерева имеют разную высоту. Утверждение 1 верно.
Ещё 3 шага — в полном решении
559ФИПИ E8931F№ 8Повышенная Миша младше Лёши на год, но старше Коли на два года. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим возраст Коли через $x$. Тогда Миша старше Коли на два года, а Лёша старше Миши на один год.$$K=x,\quad M=x+2,\quad L=x+3$$
- 2
Следовательно, возраст мальчиков располагается в порядке: Коля, Миша, Лёша. Лёша и Коля не одного возраста, поэтому утверждение 1 неверно.
Ещё 2 шага — в полном решении
560ФИПИ EB9EA4№ 8Повышенная Кондитер испёк 50 рогаликов, из них 15 рогаликов он посыпал корицей, а 20 рогаликов посыпал сахаром. Один рогалик может быть посыпан и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпан. Выберите…
- 1
Максимальное число рогаликов, посыпанных хотя бы одной добавкой, равно сумме чисел посыпанных корицей и сахаром:$$15 + 20 = 35$$
- 2
Следовательно, ничем не посыпаны как минимум:$$50 - 35 = 15$$
Ещё 4 шага — в полном решении