Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Точка на координатной прямой

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{46}$. Какая это точка?

1. 1
   Сравним число под знаком корня с квадратами соседних целых чисел.$$6^2=36<46<49=7^2$$
2. 2
   Следовательно, число $\sqrt{46}$ расположено между $6$ и $7$, ближе к $7$.$$6<\sqrt{46}<7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{4a^{20}}{a^{14}}}$ при $a = 3$.

1. 1
   Упростим дробь степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{4a^{20}}{a^{14}} = 4a^{20-14} = 4a^6$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень, учитывая, что $a = 3 > 0$:$$\sqrt{4a^6} = 2a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(a^2)^{-6} : a^{-15}$ при $a = 4$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках по правилу возведения степени в степень.$$(a^2)^{-6} = a^{-12}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$a^{-12} : a^{-15} = a^{-12-(-15)} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot x^4y^6}$ при $x=2$ и $y=3$.

1. 1
   Подставим $x=2$ и $y=3$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot 2^4\cdot 3^6}$$
2. 2
   Вычислим степени и произведение под корнем.$$\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot 16\cdot 729}=\sqrt{2916}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-14} \cdot (a^9)^2$ при $a = 3$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$(a^9)^2 = a^{18}$$
2. 2
   Сложим показатели степеней при умножении степеней с одинаковым основанием:$$a^{-14} \cdot a^{18} = a^{-14+18} = a^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^8 \cdot a^{17} : a^{20}$ при $a = 2$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$a^8 \cdot a^{17} : a^{20} = a^{8+17-20} = a^5$$
2. 2
   Подставляем значение $a = 2$.$$2^5 = 32$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^2 y^6}$ при $x = 7$ и $y = 3$.

1. 1
   Подставим $x = 7$ и $y = 3$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot 7^2 \cdot 3^6}$$
2. 2
   Представим подкоренное выражение в виде квадрата.$$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot 49 \cdot 729} = \sqrt{49 \cdot 81}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-12} \cdot (a^7)^2$ при $a = 6$.

1. 1
   Преобразуем степень произведения:$$(a^7)^2 = a^{14}$$
2. 2
   Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:$$a^{-12} \cdot a^{14} = a^{-12+14} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^4)^4 \cdot a^5}{a^{18}}$ при $a = 3$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках:$$(a^4)^4 = a^{16}$$
2. 2
   Объединяем степени при умножении и делении:$$\dfrac{a^{16} \cdot a^5}{a^{18}} = a^{16+5-18} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $5(x+9)=-8$.

1. 1
   Разделим обе части уравнения на $5$:$$x+9=-\frac{8}{5}$$
2. 2
   Вычтем $9$ из обеих частей:$$x=-\frac{8}{5}-9=-\frac{53}{5}=-10{,}6$$

Квадратное уравнение

Решите уравнение $x^2 - 12x + 20 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

1. 1
   Определим коэффициенты квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -12$, $c = 20$.$$D = b^2 - 4ac$$
2. 2
   Вычислим дискриминант.$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 121 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, запишите меньший из них.

1. 1
   Перенесём число и извлечём квадратный корень:$$x^2 = 121$$
2. 2
   Получаем два корня:$$x = \pm 11$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-5 + 9x = 10x + 4$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:$$9x - 10x = 4 + 5$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение:$$-x = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньший корень уравнения

Решите уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

1. 1
   Определим коэффициенты квадратного уравнения: $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.
2. 2
   Вычислим дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-3x - 9 = 2x$.

1. 1
   Перенесём слагаемое $2x$ в левую часть уравнения:$$-3x - 2x = 9$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$-5x = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение уравнения

Решите уравнение.

1. 1
   После преобразования исходного уравнения получаем единственный корень.$$x = 15$$

Решение уравнения суммой квадратов

Решите уравнение $\left(x^2-4\right)^2+\left(x^2-3x-10\right)^2=0$.

1. 1
   Сумма квадратов действительных выражений равна нулю только в том случае, когда каждый квадрат равен нулю.$$x^2-4=0,\quad x^2-3x-10=0$$
2. 2
   Решим первое уравнение:$$x^2-4=0\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+2)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ или\ x=-2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-5 + 2x = -2x - 3$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую.$$2x + 2x = 5 - 3$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение.$$4x = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение уравнения

Решите уравнение.

1. 1
   На изображении присутствует только указание «Решите уравнение», но запись самого уравнения отсутствует.
2. 2
   Без исходного уравнения определить значение корня невозможно.

Решение уравнения

Решите уравнение.

1. 1
   В условии отсутствует выражение уравнения, поэтому выполнить преобразования и найти корень невозможно.