Периметр треугольника равен 71, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{71}{2} = 35{,}5$$
- 2
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r \cdot p$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $10\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается через длину стороны формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим значение радиуса и найдём сторону треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 60$$
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $32\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата совпадает с диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 32\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на $\sqrt{2}$. Найдём длину стороны.$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{64\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 64$$
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 14.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r = 2 \cdot 14 = 28$$
- 2
Вычислим площадь квадрата.$$S = a^2 = 28^2 = 784$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $30^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит, $AB$ — диаметр окружности.
- 2
По теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой:$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что угол $\angle NBA = 69^\circ$. Найдите угол $\angle NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\overset{\frown}{NA} = 2 \cdot 69^\circ = 138^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{AN} + \overset{\frown}{NB} = 180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Окружность касается обоих параллельных оснований трапеции, поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 34 = 68$$
Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 56$$
- 2
Радиус равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{56}{2} = 28$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $82^\circ$, угол $CAD$ равен $28^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные и опираются на одну дугу $AD$, поэтому они равны.$$\angle ACD=\angle ABD=82^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол.$$\angle ADC=180^\circ-\angle ACD-\angle CAD=180^\circ-82^\circ-28^\circ=70^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $82^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В ромбе соседние углы supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол ромба $C$ пополам:$$\angle ACD = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{98^\circ}{2} = 49^\circ$$
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на две боковые части.$$x = \dfrac{8-4}{2} = 2$$
- 2
В образовавшемся прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$, поэтому катеты равны. Высота трапеции равна $2$.$$h = 2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол ромба равен $36^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$. Поэтому тупой угол ромба равен:$$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам. Следовательно, угол между стороной и меньшей диагональю равен:$$\dfrac{144^\circ}{2} = 72^\circ$$
Диагональ прямоугольника образует угол $86^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому угол между диагональю и другой стороной равен$$90^\circ - 86^\circ = 4^\circ$$
- 2
Диагонали симметричны относительно оси прямоугольника. Поэтому острый угол между ними в два раза больше найденного угла.$$2 \cdot 4^\circ = 8^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $28^\circ$ и $82^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть угол при большем основании равен $x$. Благодаря равенству боковых сторон углы при каждом основании равны, а углы при разных основаниях в сумме дают $180^\circ$.$$2x + (82^\circ - 28^\circ) = 180^\circ$$
- 2
Вычислим угол:$$2x = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ,\quad x = 63^\circ$$
Основания трапеции равны 7 и 21, а высота равна 6. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим длины оснований в формулу:$$m = \dfrac{7+21}{2} = 14$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 16 и 17. Найдите длину основания $BC$.
- 1
В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому высота из вершины $C$ делит основание $AD$ на отрезки, разность длин которых равна длине меньшего основания $BC$.$$BC = 17 - 16$$
- 2
Вычисляем длину основания $BC$.$$BC = 1$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $16^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$, то есть $16^\circ$.$$∠(\text{биссектриса } A, AD)=16^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ на два равных угла.$$\angle A = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 5.
- 1
В равнобедренной трапеции диагональ соединяет левую вершину меньшего основания с правой вершиной большего основания. Её горизонтальная проекция равна полусумме оснований.$$x=\dfrac{3+5}{2}=4$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$, поэтому в образовавшемся прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению высоты к горизонтальной проекции диагонали.$$\tan 45^\circ=\dfrac{h}{4}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов прямоугольной трапеции равен $72°$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы при боковой стороне трапеции, пересекающей параллельные основания, являются односторонними и в сумме равны $180°$.$$\alpha + \beta = 180°$$
- 2
Если один из этих углов равен $72°$, то другой угол равен:$$\beta = 180° - 72° = 108°$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $44^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $44^\circ$.$$\angle BAD/2 = 44^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ пополам, значит острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$$