Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.
- 1
Высота равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение стороны и упростим выражение:$$h = \dfrac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{14\cdot 3}{2} = 21$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна $42$, сторона $BC$ равна $44$, сторона $AC$ равна $62$. Найдите $MN$.
- 1
Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{62}{2} = 31$$
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик…
- 1
Высота каждого следующего прыжка в два раза меньше предыдущей, поэтому высоты образуют геометрическую прогрессию с первым членом $3{,}6$ м и знаменателем $q=\dfrac{1}{2}$.$$h_n=3{,}6\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
- 2
Последовательно найдём высоты прыжков и сравним их с $25$ см $=0{,}25$ м.$$h_4=0{,}45\text{ м}>0{,}25\text{ м},\quad h_5=0{,}225\text{ м}<0{,}25\text{ м}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 28^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим значение угла $BAC$.$$\angle BAD = \frac{28^\circ}{2} = 14^\circ$$
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10…
- 1
Расстояния, пройденные поездом за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}4$ м и разностью $d = 0{,}3$ м.
- 2
Найдём сумму первых десяти членов прогрессии по формуле суммы арифметической прогрессии.$$S_{10} = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 0{,}4 + 9 \cdot 0{,}3\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если известны две указанные в условии угловые величины.
- 1
Биссектриса делит соответствующий угол треугольника на два равных угла.$$\angle_1 = \angle_2$$
- 2
Используем сумму углов треугольника и подставляем данные условия.$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите корень уравнения $-x - 7 = x$.
- 1
Перенесём слагаемое $-x$ в правую часть уравнения:$$-7 = x + x$$
- 2
Приведём подобные слагаемые:$$-7 = 2x$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите расстояние от деревни Таловка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах. Используйте план из общего материала.
- 1
По плану расстояние от деревни Таловка до села Абрамово по прямой составляет 13 клеток.$$13 \text{ клеток}$$
- 2
Сторона каждой клетки равна 2 км, поэтому переводим расстояние в километры.$$13 \cdot 2 = 26$$
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 20 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2+20^2=25^2$$
- 2
Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2=25^2-20^2=625-400=225$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 104^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому он равнобедренный, а углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Обозначим каждый угол при основании через $x$ и составим уравнение.$$x + x + 104^\circ = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 54$, $BM$ — медиана, $BM = 43$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим известную длину стороны $AC$:$$AM = \dfrac{54}{2} = 27$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если известны две другие угловые величины, указанные в условии.
- 1
Биссектриса делит угол треугольника на два равных угла.$$\angle 1=\angle 2$$
- 2
Используем сумму углов треугольника и данные условия.$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 83, сторона $BC$ равна 62, сторона $AC$ равна 104. Найдите $MN$.
- 1
Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{104}{2} = 52$$
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. В равнобедренной трапеции боковые части большего основания равны.$$x=\dfrac{9-3}{2}=3$$
- 2
В получившемся прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$, поэтому катеты равны. Следовательно, высота трапеции равна 3.$$h=x=3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.
- 1
По рисунку сторона $AC$ занимает 8 клеток, поэтому её длина равна $8$.$$AC=8$$
- 2
Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$$
Биссектриса равностороннего треугольника равна $9\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение высоты и решим уравнение относительно стороны:$$\dfrac{a\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите расстояние от деревни Зябликово до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах. Используйте план из общего материала.
- 1
По плану расстояние от Зябликово до Николаево является гипотенузой прямоугольного треугольника. Его катеты равны $8$ км и $15$ км.$$c^2=8^2+15^2$$
- 2
Вычисляем длину гипотенузы:$$c=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 12^2 + 16^2$$
- 2
Вычислим длину гипотенузы:$$c = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $23^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Найдём второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$$
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 30 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.$$30^2+x^2=50^2$$
- 2
Найдём квадрат другого катета:$$x^2=50^2-30^2=2500-900=1600$$
Ещё 1 шаг — в полном решении