В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
- 1
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 15, разность равна 3.$$a_1 = 15,\quad d = 3,\quad n = 12$$
- 2
Найдём количество мест в последнем, двенадцатом, ряду.$$a_{12} = a_1 + (12 - 1)d = 15 + 11 \cdot 3 = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Васильевка, селе Плодородное, деревне Шарковка и деревне Рассвет. Дима с дедушкой хотят купить…
- 1
Вычислим стоимость набора продуктов в каждом магазине.$$S = 2c_{\text{молока}} + 3c_{\text{говядины}} + 2c_{\text{картофеля}}$$
- 2
В деревне Васильевка набор стоит:$$2 \cdot 37 + 3 \cdot 420 + 2 \cdot 30 = 1394$$
Ещё 4 шага — в полном решении
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Разность оснований трапеции равна $5-3=2$. В равнобедренной трапеции она делится поровну между двумя боковыми прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальный катет каждого из них равен $1$.$$x=\frac{5-3}{2}=1$$
- 2
Угол в получившемся прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$, поэтому его катеты равны. Следовательно, высота трапеции равна $1$.$$h=x=1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.
- 1
Медиана равностороннего треугольника выражается формулой$$m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника:$$m = \dfrac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{16\cdot 3}{2} = 24$$
Используя приведённый материал, определите, на сколько миллиметров увеличится диаметр колеса при замене заводских колёс с шинами 225/55 R16 на колёса с шинами 235/45 R18.
- 1
Диаметр заводского колеса равен диаметру диска плюс удвоенная высота боковины шины:$$D_1=16\cdot25{,}4+2\cdot225\cdot0{,}55=653{,}9\ \text{мм}$$
- 2
Для новой шины получаем:$$D_2=18\cdot25{,}4+2\cdot235\cdot0{,}45=668{,}7\ \text{мм}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 18^2 + 24^2$$
- 2
Вычислим длину гипотенузы:$$c = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$$
Основания трапеции равны 16 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, равные половинам оснований трапеции.$$l_1=\dfrac{16}{2}=8,\quad l_2=\dfrac{17}{2}=8{,}5$$
- 2
Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$l_{\max}=8{,}5$$
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.
- 1
По клеткам определяем длину стороны $AC$: она равна $8$ единицам.$$AC = 8$$
- 2
Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$$
В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру указанного угла, если даны две величины из условия.
- 1
Медиана делит противоположную сторону на два равных отрезка. Используем это свойство вместе с равенством суммы углов треугольника $180^\circ$.$$a+b+c=180^\circ$$
- 2
Подставляя данные условия и решая получившееся угловое соотношение, находим искомый угол.$$\alpha=39^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 146^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма двух углов при основании равна:$$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $58°$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle D = 58°$$
- 2
Так как луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, то$$\angle CAD = \frac{58°}{2} = 29°$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Используя материал к заданиям 1–5 и план взаимного расположения населённых пунктов, определите, сколько километров проедут Ваня с дедушкой от деревни Калиновка до села Ольгино, если поедут по шоссе…
- 1
По плану маршрут через Ровное состоит из двух участков шоссе: от Калиновки до Ровного и от Ровного до Ольгино.
- 2
Измеряем длины этих участков по плану в клетках. Так как сторона каждой клетки равна 1 км, полученные числовые длины сразу выражаются в километрах.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Используя план дачного участка и данные общего текста, определите количество плиток, необходимых для мощения всех дорожек и площадки между сараем и гаражом. Плитки продаются в упаковках по 8 штук.
- 1
По плану подсчитываем площадь всех дорожек и площадки. Так как одна плитка имеет размер $1\text{ м} \times 1\text{ м}$, требуется 72 плитки.$$N = 72$$
- 2
В одной упаковке 8 плиток, поэтому число упаковок равно:$$\dfrac{72}{8} = 9$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 8 и 18. Найдите длину основания $BC$.
- 1
В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому отрезки, на которые высота из вершины $C$ делит основание $AD$, отличаются на длину меньшего основания $BC$.$$BC = 18 - 8$$
- 2
Вычислим разность длин отрезков.$$BC = 10$$
Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 38, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{P}{2} = \dfrac{110}{2} = 55$$
- 2
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r \cdot p = 10 \cdot 55 = 550$$
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 7 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим искомый катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 7^2 = 25^2$$
- 2
Выразим квадрат искомого катета:$$x^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Используя приведённый материал о форматах листов бумаги, найдите отношение длины меньшей стороны листа формата А4 к большей. Ответ округлите до десятых.
- 1
Обозначим большую сторону листа через $a$. При делении листа пополам меньшая сторона подобного листа равна $\dfrac{a}{2}$.$$b=\dfrac{a}{2}$$
- 2
Так как листы подобных форматов имеют одинаковое отношение сторон, отношение большей стороны к меньшей равно $\sqrt{2}$.$$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике медиана является также высотой. Используем формулу медианы через сторону:$$m=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение:$$m=\frac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{14\cdot3}{2}=21$$
Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, одновременно является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника.$$h = \dfrac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{16\cdot 3}{2} = 24$$
В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру угла, если известны указанные в условии величины.
- 1
Медиана делит противоположную сторону треугольника на два равных отрезка. Используем это свойство вместе с данными условиями задачи.
- 2
Преобразуя полученные соотношения между углами, находим градусную меру искомого угла.$$\alpha = 37^\circ$$