Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Угол при биссектрисе

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 46^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$$

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $27^\circ$ и $79^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 27^\circ - 79^\circ = 74^\circ$$

Длина медианы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 56$, $BM$ — медиана, $BM = 48$. Найдите $AM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
2. 2
   Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{56}{2} = 28$$

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $57^\circ$ и $86^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём третий угол, вычтя из суммы углов два известных угла.$$\gamma = 180^\circ - 57^\circ - 86^\circ = 37^\circ$$

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 108^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны:$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:$$\angle BCA = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$$

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{3}{7}$, $AB = 21$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = AB \cdot \sin B = 21 \cdot \dfrac{3}{7} = 9$$

Угол биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 68^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $48^\circ$ и $65^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 48^\circ - 65^\circ = 67^\circ$$

Длина половины основания

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 14$, $BM$ — медиана, $BM = 10$. Найдите $AM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
2. 2
   Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$$

Угол в треугольнике с медианой

В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру указанного угла, если известны значения двух других элементов задачи.

1. 1
   Используем свойство медианы: она соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
2. 2
   Применяем свойства углов треугольника и заданные в условии соотношения.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, а $\angle ABC = 144^\circ$. Найдите угол $BCA$.

1. 1
   Стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный, а углы при основании равны:$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Используем сумму углов треугольника:$$\angle BAC + \angle BCA + 144^\circ = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Другой катет треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   Обозначим другой катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 16^2 = 20^2$$
2. 2
   Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при высоте

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 55^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Угол $BAH$ совпадает с углом $BAC$, так как точки $A$, $H$, $C$ лежат на одной прямой.$$\angle BAH = \angle BAC = 55^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 7$, $AB = 25$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ расположена напротив угла $B$.$$AB = 25,\quad AC = 7$$
2. 2
   Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{7}{25} = 0.28$$

Косинус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 72$, $AB = 75$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим значения длин сторон:$$\cos B = \dfrac{72}{75} = 0{,}96$$

Угол треугольника по двум углам

В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру указанного угла, если два других угла равны $42^\circ$ и $105^\circ$.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Медиана не влияет на сумму углов.$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
2. 2
   Находим третий угол:$$180^\circ-42^\circ-105^\circ=33^\circ$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{11}{15}$, $AB = 75$. Найдите $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Выразим длину катета $BC$ и подставим известные значения.$$BC = AB \cdot \cos B = 75 \cdot \dfrac{11}{15} = 55$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{3}{5}$, $BC = 30$. Найдите $AC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{AC}{30}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение катета треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   Обозначим искомый катет через $x$. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.$$x^2 + 40^2 = 41^2$$
2. 2
   Найдём квадрат искомого катета.$$x^2 = 41^2 - 40^2 = 1681 - 1600 = 81$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 8^2 + 15^2$$
2. 2
   Вычислим сумму квадратов катетов:$$c^2 = 64 + 225 = 289$$

Ещё 1 шаг — в полном решении