Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(9^3)^{-4}}{9^{-14}}$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(9^3)^{-4}=9^{3\cdot(-4)}=9^{-12}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{9^{-12}}{9^{-14}}=9^{-12-(-14)}=9^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить степень выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{14}\cdot\left(b^6\right)^2}{\left(a\cdot b\right)^{12}}$ при $a=6$ и $b=\sqrt{6}$.

1. 1
   Преобразуем степени в числителе и знаменателе:$$\left(b^6\right)^2=b^{12},\quad \left(a\cdot b\right)^{12}=a^{12}b^{12}$$
2. 2
   Сократим одинаковые множители и степени:$$\dfrac{a^{14}\cdot b^{12}}{a^{12}b^{12}}=a^{14-12}=a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{(3\sqrt{2})^2}{180}$.

1. 1
   Возводим произведение в квадрат:$$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$
2. 2
   Делим полученное значение на 180:$$\dfrac{18}{180} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^3)^4}{a^9}$ при $a = 3$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе:$$(a^3)^4 = a^{12}$$
2. 2
   Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{12}}{a^9} = a^{12-9} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 \cdot (-a)^6}$ при $a = 2$.

1. 1
   Подставим $a = 2$ в исходное выражение.$$\sqrt{a^2 \cdot (-a)^6} = \sqrt{2^2 \cdot (-2)^6}$$
2. 2
   Вычислим степени: $2^2 = 4$, а шестая степень отрицательного числа положительна.$$\sqrt{2^2 \cdot (-2)^6} = \sqrt{4 \cdot 64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность квадратов

Найдите значение выражения $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{3}$:$$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$$

Вычисление значения степени

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{3^{-10}} \cdot \dfrac{1}{3^8}$.

1. 1
   Заменим дроби со степенями в знаменателе степенями с противоположными показателями.$$\dfrac{1}{3^{-10}} \cdot \dfrac{1}{3^8}=3^{10}\cdot3^{-8}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.$$3^{10}\cdot3^{-8}=3^{10-8}=3^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{65}\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{5}}$.

1. 1
   Объединим множители под одним знаком корня:$$\dfrac{\sqrt{65}\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{65\cdot13}{5}}$$
2. 2
   Сократим $65$ на $5$ и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{\dfrac{65\cdot13}{5}}=\sqrt{13\cdot13}=\sqrt{13^2}=13$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{8}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Упростим первый корень:$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и приведём подобные слагаемые:$$(\sqrt{8}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=(2\sqrt{2}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{51}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{17}}$.

1. 1
   Объединим корни, используя свойства квадратного корня.$$\dfrac{\sqrt{51}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{17}}=\sqrt{\dfrac{51\cdot12}{17}}$$
2. 2
   Сократим дробь под корнем и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{51\cdot12}{17}}=\sqrt{3\cdot12}=\sqrt{36}=6$$

Значение степени

Найдите значение выражения $\dfrac{2^7}{32}$.

1. 1
   Представим знаменатель в виде степени числа $2$: $32=2^5$.$$32=2^5$$
2. 2
   Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{2^7}{32}=\dfrac{2^7}{2^5}=2^{7-5}=2^2=4$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Вынесем полный квадрат из-под знака корня:$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим найденное значение и сложим подобные слагаемые:$$\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot x^2 y^8}$ при $x = 5$ и $y = 2$.

1. 1
   Подставим $x = 5$ и $y = 2$ в исходное выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{4} \cdot 5^2 \cdot 2^8}$$
2. 2
   Вычислим степени и произведение под корнем.$$\dfrac{1}{4} \cdot 25 \cdot 256 = 1600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(a^4)^{-3}:a^{-15}$ при $a=3$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$(a^4)^{-3}=a^{4\cdot(-3)}=a^{-12}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$a^{-12}:a^{-15}=a^{-12-(-15)}=a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{(2\sqrt{3})^2}{30}$.

1. 1
   Возводим множитель в квадрат:$$(2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=4\cdot3=12$$
2. 2
   Подставляем полученное значение в выражение и сокращаем дробь:$$\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$$

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{2^9}{16}$.

1. 1
   Представим знаменатель в виде степени числа $2$:$$16=2^4$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{2^9}{16}=\dfrac{2^9}{2^4}=2^{9-4}=2^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{21^4}{3^2 \cdot 7^3}$.

1. 1
   Разложим число $21$ на простые множители и возведём произведение в четвёртую степень.$$21^4 = (3 \cdot 7)^4 = 3^4 \cdot 7^4$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе.$$\dfrac{3^4 \cdot 7^4}{3^2 \cdot 7^3} = 3^{4-2} \cdot 7^{4-3} = 3^2 \cdot 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{(2\sqrt{3})^2}{120}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат:$$(2\sqrt{3})^2=2^2\cdot(\sqrt{3})^2=4\cdot3=12$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение и сократим дробь:$$\dfrac{12}{120}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$$

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{64a^{17}}{a^{15}}}$ при $a = 7$.

1. 1
   Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{64a^{17}}{a^{15}} = 64a^{17-15} = 64a^2$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень и подставим $a = 7$:$$\sqrt{64a^2} = 8|a| = 8 \cdot 7 = 56$$

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{23}-2\right)\left(\sqrt{23}+2\right)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{23}$ и $b=2$.$$\left(\sqrt{23}-2\right)\left(\sqrt{23}+2\right)=(\sqrt{23})^2-2^2=23-4=19$$