Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Окружность и вписанные фигуры» — с ответами

Диаметр автомобильного колеса

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 235/45 R20?

1. 1
   Для заводской шины 225/60 R18 диаметр диска равен $18\cdot25{,}4$ мм, а высота боковины — $225\cdot0{,}60$ мм. Поэтому$$D_1=18\cdot25{,}4+2\cdot225\cdot0{,}60=727{,}2\ \text{мм}$$
2. 2
   Для новой шины 235/45 R20 диаметр диска равен $20\cdot25{,}4$ мм, а высота боковины — $235\cdot0{,}45$ мм. Поэтому$$D_2=20\cdot25{,}4+2\cdot235\cdot0{,}45=719{,}5\ \text{мм}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр автомобильного колеса

Используя сведения из общего материала, определите, на сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить установленные на заводе колёса с шинами 245/45 R18 колёсами с шинами 265/35 R20?

1. 1
   Для заводской шины 245/45 R18 найдём диаметр колеса: диаметр диска равен $18\cdot25{,}4$ мм, а высота боковины — $245\cdot0{,}45$ мм.$$D_1=18\cdot25{,}4+2\cdot245\cdot0{,}45=677{,}7\text{ мм}$$
2. 2
   Для новой шины 265/35 R20 найдём диаметр колеса.$$D_2=20\cdot25{,}4+2\cdot265\cdot0{,}35=693{,}5\text{ мм}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр автомобильного колеса

Используя материал, найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

1. 1
   Высота боковины шины составляет 50% от её ширины:$$H = 215 \cdot 0{,}5 = 107{,}5\ \text{мм}$$
2. 2
   Переведём диаметр диска из дюймов в миллиметры:$$d = 16 \cdot 25{,}4 = 406{,}4\ \text{мм}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр автомобильного колеса

Используя приведённый материал, найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

1. 1
   Высота боковины шины составляет 70% от её ширины:$$H = 165 \cdot 0{,}70 = 115{,}5\ \text{мм}$$
2. 2
   Переведём диаметр диска из дюймов в миллиметры:$$d = 13 \cdot 25{,}4 = 330{,}2\ \text{мм}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр автомобильного колеса

Используя данные из общего материала, найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

1. 1
   Высота боковины составляет 60% ширины шины:$$H = 225 \cdot 0{,}6 = 135\ \text{мм}$$
2. 2
   Диаметр диска равен 17 дюймам. Переведём его в миллиметры:$$d = 17 \cdot 25{,}4 = 431{,}8\ \text{мм}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пробег автомобиля за оборот

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 225/50 R16? Результат округлите до десятых.

1. 1
   Высота боковины заводской шины 215/50 R16 равна $215\cdot0{,}5=107{,}5$ мм. Диаметр диска равен $16\cdot25{,}4=406{,}4$ мм.$$D_1=406{,}4+2\cdot107{,}5=621{,}4\text{ мм}$$
2. 2
   Высота боковины новой шины 225/50 R16 равна $225\cdot0{,}5=112{,}5$ мм.$$D_2=406{,}4+2\cdot112{,}5=631{,}4\text{ мм}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус арки кожуха

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней…

1. 1
   Центр окружности находится в середине нижней части кожуха, поэтому горизонтальное расстояние от центра до края арки равно половине ширины кожуха.$$60 : 2 = 30$$
2. 2
   Радиус арки, половина ширины кожуха и высота кожуха образуют прямоугольный треугольник.$$R^2 = 30^2 + 40^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус арки кожуха

Хозяин выбрал дровяную печь. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней…

1. 1
   Центр окружности находится в середине нижней части кожуха. Расстояние от центра до конца арки по горизонтали равно половине ширины кожуха:$$50:2=25$$
2. 2
   Расстояние от центра до уровня концов арки по вертикали равно $60$ см. Радиус арки — гипотенуза прямоугольного треугольника.$$R^2=60^2+25^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $CAD$ равен $74^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Противоположные углы вписанного четырёхугольника supplementary:$$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол:$$\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 74^\circ - 60^\circ = 46^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус окружности квадрата

Сторона квадрата равна $24\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

1. 1
   Диаметр описанной около квадрата окружности равен диагонали квадрата.$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Найдём диагональ квадрата со стороной $24\sqrt{2}$:$$d=24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона описанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 10$, $BC = 14$, $CD = 22$. Найдите $AD$.

1. 1
   У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 10 + 22 - 14 = 18$$

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 30 = 60$$

Площадь прямоугольника по диагонали

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\dfrac{5}{13}$. Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Диагональ прямоугольника совпадает с диаметром описанной окружности, поэтому $d=34$.
2. 2
   Синус угла между стороной и диагональю равен отношению меньшей стороны к диагонали: $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$. Значит, стороны и диагональ пропорциональны числам $5$, $12$, $13$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь квадрата по радиусу

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $1$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
2. 2
   Треугольник $AOD$ прямоугольный, поскольку стороны квадрата перпендикулярны. Радиус окружности $OA = 1$.$$OA^2 = AD^2 + OD^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь квадрата и окружность

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2\sqrt{5}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Обозначим сторону квадрата через $a$. Поскольку $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
2. 2
   Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = AD^2 + OD^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол, вписанный в окружность

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $113^\circ$. Ответ дайте…

1. 1
   Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Условие о расположении точек $O$ и $C$ указывает, что рассматривается дуга, соответствующая углу $AOB$.
2. 2
   Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\frac{5}{13}$. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, поэтому$$d = 26$$
2. 2
   По определению синуса угла между стороной и диагональю одна из сторон равна$$b = d\sin\alpha = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $81^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$$

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $77^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$$

Угол, вписанный в окружность

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $67^\circ$. Ответ дайте в…

1. 1
   Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Условие о расположении точек $O$ и $C$ показывает, что используется малая дуга $AB$.
2. 2
   Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$$

Ещё 1 шаг — в полном решении