На координатной прямой отмечены числа $p$, $q$ и $r$. Какая из разностей отрицательна?
- 1
По расположению точек на координатной прямой получаем порядок чисел:$$p<q<r$$
- 2
Разности $q-p$ и $r-q$ положительны, поскольку из большего числа вычитается меньшее.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{5}{7}$?
- 1
Представим дробь $\dfrac{5}{7}$ в виде десятичного приближения.$$\dfrac{5}{7} \approx 0{,}714$$
- 2
Число $0{,}714$ принадлежит промежутку от $0{,}7$ до $0{,}8$.$$0{,}7 < 0{,}714 < 0{,}8$$
Одно из чисел $\frac{10}{17}$, $\frac{11}{17}$, $\frac{13}{17}$ и $\frac{14}{17}$ отмечено на числовой прямой точкой $A$. Какое это число?
- 1
Вычислим приближённые значения предложенных дробей.$$\frac{10}{17}\approx0{,}588,\quad \frac{11}{17}\approx0{,}647,\quad \frac{13}{17}\approx0{,}765,\quad \frac{14}{17}\approx0{,}824$$
- 2
Точка $A$ расположена примерно в координате $0{,}76$, то есть между $0{,}7$ и $0{,}8$, ближе к $0{,}8$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Укажите решение неравенства $6x - x^2 < 0$.
- 1
Разложим левую часть неравенства на множители.$$6x-x^2=x(6-x)$$
- 2
Найдём нули множителей: $x=0$ и $x=6$. Отметим их на координатной прямой.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из чисел $\dfrac{46}{7}$, $\dfrac{53}{7}$, $\dfrac{55}{7}$ и $\dfrac{61}{7}$ принадлежит отрезку $[8; 9]$?
- 1
Для принадлежности дроби отрезку $[8; 9]$ составим двойное неравенство.$$8 \leq \dfrac{n}{7} \leq 9$$
- 2
Умножим все части неравенства на $7$. Знак неравенства не изменится, поскольку $7 > 0$.$$56 \leq n \leq 63$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Одно из чисел $\sqrt{37}$, $\sqrt{47}$, $\sqrt{50}$, $\sqrt{62}$ отмечено на прямой точкой $A$. Какое это число?
- 1
По рисунку точка $A$ расположена между числами 6 и 7, причём близко к 6.
- 2
Проверим варианты: $6^2=36$, $7^2=49$. Поэтому $\sqrt{37}$ немного больше 6, а $\sqrt{47}$ значительно ближе к 7.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Между какими числами заключено число $\sqrt{28}$?
- 1
Сравним подкоренное выражение с квадратами чисел 5 и 6.$$5^2 = 25 < 28 < 36 = 6^2$$
- 2
Из неравенства квадратов следует, что квадратный корень из 28 находится между 5 и 6.$$5 < \sqrt{28} < 6$$
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{76}$. Какая это точка?
- 1
Определим, между какими целыми числами находится корень.$$8^2=64<76<81=9^2$$
- 2
Следовательно, $\sqrt{76}$ находится между $8$ и $9$. Более точно, $\sqrt{76}\approx 8{,}72$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Одно из чисел $\sqrt{18}$, $\sqrt{24}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{32}$ отмечено на координатной прямой точкой $A$. Точка $A$ расположена между 5 и 6, немного правее отметки 5. Какое это число?
- 1
Точка $A$ находится между 5 и 6, поэтому искомое число должно быть больше 5 и меньше 6.$$25 < x^2 < 36$$
- 2
Проверим варианты. Значение $\sqrt{26}$ немного больше $\sqrt{25}=5$, поэтому оно соответствует положению точки $A$.$$\sqrt{26}\approx5{,}1$$
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{85}$. Какая это точка?
- 1
Определим границы, между которыми находится корень:$$9^2=81<85<90{,}25=9{,}5^2$$
- 2
Следовательно, число $\sqrt{85}$ расположено между $9$ и $9{,}5$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из чисел $\frac{58}{17}$, $\frac{72}{17}$, $\frac{87}{17}$ и $\frac{91}{17}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$?
- 1
Чтобы дробь $\frac{n}{17}$ принадлежала отрезку $[4; 5]$, составим двойное неравенство:$$4 \leq \frac{n}{17} \leq 5$$
- 2
Умножаем все части неравенства на 17:$$68 \leq n \leq 85$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{8}{13}$ и $\dfrac{12}{17}$?
- 1
Найдём приближённые значения дробей:$$\dfrac{8}{13} \approx 0{,}615,\qquad \dfrac{12}{17} \approx 0{,}706$$
- 2
Проверяем варианты. Число $0{,}7$ удовлетворяет двойному неравенству:$$0{,}615 < 0{,}7 < 0{,}706$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из следующих неравенств верно?
- 1
На координатной прямой число $y$ расположено левее нуля, поэтому $y<0$. Число $x$ расположено правее нуля, поэтому $x>0$.$$y<0,\quad x>0$$
- 2
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.$$xy<0$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Укажите решение неравенства $81x^2 > 64$.
- 1
Разделим обе части неравенства на $81$:$$x^2 > \dfrac{64}{81}$$
- 2
Представим правую часть как квадрат дроби:$$x^2 > \left(\dfrac{8}{9}\right)^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Какому из данных промежутков принадлежит число $\dfrac{4}{9}$?
- 1
Представим дробь в виде десятичной периодической дроби.$$\dfrac{4}{9}=0{,}\overline{4}$$
- 2
Полученное число больше 0,4 и меньше 0,5, значит оно принадлежит промежутку $[0{,}4;\ 0{,}5]$.$$0{,}4<\dfrac{4}{9}<0{,}5$$
Какое из следующих чисел заключено между числами $\dfrac{15}{11}$ и $\dfrac{13}{9}$?
- 1
Оценим значение первой дроби:$$\dfrac{15}{11} \approx 1{,}36$$
- 2
Оценим значение второй дроби:$$\dfrac{13}{9} \approx 1{,}44$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Укажите решение неравенства $x^2 \le 64$.
- 1
Представим правую часть как квадрат числа:$$x^2 \le 64 = 8^2$$
- 2
Из условия следует, что расстояние от числа $x$ до нуля не превышает $8$:$$|x| \le 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{77}$. Какая это точка?
- 1
Определим, между какими целыми числами расположено число $\sqrt{77}$.$$8^2=64<77<81=9^2$$
- 2
Следовательно, $\sqrt{77}$ находится между $8$ и $9$. Поскольку $77$ ближе к $81$, чем к $64$, точка расположена ближе к $9$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Одна из них соответствует числу $\dfrac{80}{11}$. Какая это точка?
- 1
Представим дробь в виде смешанного числа:$$\dfrac{80}{11}=7\dfrac{3}{11}$$
- 2
Число $7\dfrac{3}{11}$ расположено между $7$ и $8$, немного правее середины отрезка. На рисунке этой точке соответствует точка $A$.$$7\dfrac{3}{11}\approx7{,}27$$
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$, $D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{95}$. Какая это точка?
- 1
Оценим значение корня:$$9^2=81<95<100=10^2$$
- 2
Следовательно, $\sqrt{95}$ находится между $9$ и $10$ и близко к $10$: $\sqrt{95}\approx 9{,}75$.
Ещё 1 шаг — в полном решении