Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.
- 1
Обозначим длину стороны $AB$ через $a$. Пусть $\vec e$ — единичный вектор, направленный вдоль $AB$, а $\vec u$ — единичный вектор, направленный вдоль $AD$.$$AB=a\vec e,\quad AD=b\vec u$$
- 2
Направление внутренней биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных векторов вдоль его сторон, поэтому она имеет направление $\vec e+\vec u$. Направление внутренней биссектрисы угла $B$ задаётся векторами $-\vec e$ и $\vec u$, поэтому…$$AN:\ \vec e+\vec u,\qquad BN:\ -\vec e+\vec u$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.
- 1
Рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF$.
- 2
Точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому диагонали делятся точкой пересечения пополам: $AO = OC$.$$AO = OC$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Биссектрисы углов $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $AD$.
- 1
Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $C$, сторонами которого являются прямые $BC$ и $CD$. По свойству биссектрисы расстояния от точки $P$ до этих прямых равны.$$\rho(P,BC)=\rho(P,CD)$$
- 2
Точка $P$ также лежит на биссектрисе угла $D$, сторонами которого являются прямые $CD$ и $AD$. Поэтому расстояния от точки $P$ до этих прямых равны.$$\rho(P,CD)=\rho(P,AD)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.
- 1
Рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB$. Углы $AOD$ и $COB$ вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ADO$ и $CBO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.$$\angle AOD=\angle COB,\quad \angle ADO=\angle CBO$$
- 2
Следовательно, треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам. Соответствующие стороны пропорциональны.$$\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{BO}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $CC_1B_1$ и $CBB_1$ равны.
- 1
Так как $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точка $B_1$ лежит на $AC$, угол $BB_1C$ является прямым.$$\angle BB_1C = 90^\circ$$
- 2
Так как $CC_1$ — высота треугольника $ABC$, то $CC_1 \perp AB$. Поскольку точка $C_1$ лежит на $AB$, угол $BC_1C$ также является прямым.$$\angle BC_1C = 90^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны.
- 1
Так как $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точка $A_1$ лежит на $BC$, получаем прямой угол $\angle AA_1C = 90^\circ$.$$AA_1 \perp A_1C \Rightarrow \angle AA_1C = 90^\circ$$
- 2
Так как $CC_1$ — высота, то $CC_1 \perp AB$. Поскольку точка $C_1$ лежит на $AB$, получаем $\angle AC_1C = 90^\circ$.$$CC_1 \perp AC_1 \Rightarrow \angle AC_1C = 90^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что $M$ — середина $AD$.
- 1
Так как $BM$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABM=\angle MBC$. Поскольку $AD\parallel BC$, а точки $A$, $M$, $D$ лежат на одной прямой, получаем $\angle MBC=\angle AMB$.$$\angle ABM=\angle AMB$$
- 2
В треугольнике $ABM$ равны углы при вершинах $B$ и $M$, поэтому он равнобедренный.$$AM=AB$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD$. Точка $N$ — середина стороны $CD$. Докажите, что $AN$ — биссектриса угла $BAD$.
- 1
Так как $N$ — середина стороны $CD$, то $CN = ND = \dfrac{CD}{2}$.
- 2
По условию $CD = 2AD$, поэтому $ND = \dfrac{CD}{2} = AD$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Докажите, что $CM$ — биссектриса угла $BCD$.
- 1
Обозначим длину стороны $CD$ через $a$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, противоположные стороны равны: $|AD|=|BC|$. По условию $|AD|=2|CD|$, поэтому $|BC|=2a$, а $|CD|=a$.$$|BC|=|AD|=2a,\quad |CD|=a$$
- 2
Поскольку $M$ — середина стороны $AD$, имеем $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}$. В параллелограмме $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, поэтому $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{BC}$.$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\overrightarrow{BC}$$
Ещё 3 шага — в полном решении